立體幾何題怎么解
安振平
高考立體幾何試題一般共有4道(客觀題3道, 主觀題1道), 共計(jì)總分27分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi). 選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問(wèn)題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問(wèn)題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著”多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證,角與距離的探求是常考常新的熱門(mén)話題.
例1 四棱錐P―ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個(gè)四棱錐的體積；
（2）證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°
講解:（1）正方形ABCD是四棱錐P―ABCD的底面, 其面積
為從而只要算出四棱錐的高就行了.
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，
∴PA⊥DA，
∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，
∠PAB=60°.
而PB是四棱錐P―ABCD的高，PB=AB?tan60°=a,
.
（2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.
作AE⊥DP，垂足為E，連結(jié)EC，則△ADE≌△CDE，
是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.
設(shè)AC與DB相交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，則EO⊥AC，
在
故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°.
本小題主要考查線面關(guān)系和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力, 具有一定的探索性, 是一道設(shè)計(jì)新穎, 特征鮮明的好題.
例2 如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C點(diǎn)到AB1的距離為CE=，D為AB的中點(diǎn).
（1）求證：AB1⊥平面CED；
（2）求異面直線AB1與CD之間的距離；
（3）求二面角B1―AC―B的平面角.
講解:（1）∵D是AB中點(diǎn)，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1
∴DE是異面直線AB1與CD的公垂線段
∵CE=，AC=1 , ∴CD=
∴；
（3）連結(jié)B1C，易證B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1―AC―B的平面角.
在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,
∴∠B1AC=600
∴， ∴,
∴ , ∴.
作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當(dāng)然, 準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.
例3 如圖a―l―是120°的二面角，A，B兩點(diǎn)在棱上，AB=2，D在內(nèi)，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在內(nèi)，ABC是等腰直角三角形∠ACB=
（I）求三棱錐D―ABC的體積；
（2）求二面角D―AC―B的大��；
（3）求異面直線AB、CD所成的角.
講解: (1) 過(guò)D向平面做垂線，垂足為O，連強(qiáng)OA并延長(zhǎng)至E.
為二面角a―l―的平面角..
是等腰直角三角形，斜邊AB=2.又D到平面的距離DO=
（2）過(guò)O在內(nèi)作OM⊥AC,交AC的反向延長(zhǎng)線于M,連結(jié)DM.則AC⊥DM.∴∠DMO 為二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且
（3）在平在內(nèi)，過(guò)C作AB的平行線交AE于F，∠DCF為異面直線AB、CD所成的角. 為等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距離，即△ABC斜邊上的高,
異面直線AB,CD所成的角為arctg
比較例2與例3解法的異同, 你會(huì)得出怎樣的啟示? 想想看.
例4
圖① 圖②
講解: 設(shè)容器的高為x．則容器底面正三角形的邊長(zhǎng)為,
.
當(dāng)且僅當(dāng) .
故當(dāng)容器的高為時(shí)，容器的容積最大，其最大容積為
對(duì)學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)的同學(xué)來(lái)講，三次函數(shù)的最值問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)求解是最方便的，請(qǐng)讀者不妨一試. 另外，本題的深化似乎與2002年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)壓軸題有關(guān)，還請(qǐng)做做對(duì)照. 類似的問(wèn)題是:
某企業(yè)設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當(dāng)圓柱的底面半徑r和圓柱的高h(yuǎn)為何值時(shí)，制造這個(gè)密閉容器的用料最省（即容器的表面積最�。�.
例5 已知三棱錐P―ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DE⊥AP于E．
（1）求證：AP⊥平面BDE；
（2）求證：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱錐
P―ABC所成兩部分的體積比．
講解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．
由AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．
（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，得DF//AP．
由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．
又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)A到平面PBC的距離分別為h1和h2．則
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
故截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分體積的比為1∶2或2∶1
值得注意的是, “截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分的體積比”并沒(méi)有說(shuō)明先后順序, 因而最終的比值答案一般應(yīng)為兩個(gè), 希不要犯這種”會(huì)而不全”的錯(cuò)誤.
例6 已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，它被過(guò)底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）
為p的拋物線.
（1）求圓錐的母線與底面所成的角；
（2）求圓錐的全面積．
講解: （1）設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，
由題意得：,
即,
所以母線和底面所成的角為
（2）設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為MON，其中O為截面與
AC的交點(diǎn)，則OO1//AB且
在截面MON內(nèi)，以O(shè)O1所在有向直線為y軸，O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則O為拋物的頂點(diǎn)，所以拋物線方程為x2=－2py，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（R，－R），代入方程得
R2=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p.
∴圓錐的全面積為.
將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預(yù)示了高考命題的新動(dòng)向. 類似請(qǐng)思考如下問(wèn)題:
一圓柱被一平面所截，截口是一個(gè)橢圓．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為5，短軸長(zhǎng)為4，被截后幾何體的最短側(cè)面母線長(zhǎng)為1，則該幾何體的體積等于 ．
例7 如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F(xiàn)、G分別為EB和AB的中點(diǎn).
（2）求證：AF⊥BD；
(3) 求二面角B―FC―G的正切值.
講解: ∵F、G分別為EB、AB的中點(diǎn)，
∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC，
∴四邊形FGCD為平行四邊形，∴FD∥GC，又GC面ABC，
∴FD∥面ABC.
（2）∵AB=EA，且F為EB中點(diǎn)，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC ∵G為等邊△ABC，AB邊的中點(diǎn)，∴AG⊥GC.
∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ②
由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.
（3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.
過(guò)G作GH⊥FC，垂足為H，連HB，∴HB⊥FC.
∴∠GHB為二面角B-FC-G的平面角.
易求.
例8 如圖，正方體ABCD―A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P、Q分別是線段AD1和BD上的點(diǎn)，且
D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1) 求證PQ∥平面CDD1C1；
(2) 求證PQ⊥AD；
(3) 求線段PQ的長(zhǎng).
講解: （1）在平面AD1內(nèi)，作PP1∥AD與DD1交于點(diǎn)P1，在平面AC內(nèi)，作
QQ1∥BC交CD于點(diǎn)Q1，連結(jié)P1Q1.
∵ , ∴PP1QQ1 .?
由四邊形PQQ1P1為平行四邊形, 知PQ∥P1Q1? ?
而P1Q1平面CDD1C1， 所以PQ∥平面CDD1C1?
（2）AD⊥平面D1DCC1， ∴AD⊥P1Q1，?
又∵PQ∥P1Q1， ∴AD⊥PQ.?
（3）由（1）知P1Q1 PQ,
，而棱長(zhǎng)CD=1. ∴DQ1=. 同理可求得 P1D=.
在Rt△P1DQ1中，應(yīng)用勾股定理, 立得
P1Q1=.?
做為本題的深化, 筆者提出這樣的問(wèn)題: P, Q分別是BD,上的動(dòng)點(diǎn),試求的最小值, 你能夠應(yīng)用函數(shù)方法計(jì)算嗎? 試試看. 并與如下2002年全國(guó)高考試題做以對(duì)照, 你會(huì)得到什么啟示?
如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=
（1） 求MN的長(zhǎng)；
（2） 當(dāng)為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最�。�
（3） 當(dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。
立體幾何知識(shí)是復(fù)課耗時(shí)較多, 而考試得分偏底的題型. 只有放底起點(diǎn), 依據(jù)課本, 熟化知識(shí), 構(gòu)建空間思維網(wǎng)絡(luò), 掌握解三角形的基本工具, 嚴(yán)密規(guī)范表述, 定會(huì)突破解答立幾考題的道道難關(guān).
解析幾何題怎么解
安振平
高考解析幾何試題一般共有4題(2個(gè)選擇題, 1個(gè)填空題, 1個(gè)解答題), 共計(jì)30分左右, 考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點(diǎn), 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識(shí). 解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn), 通過(guò)知識(shí)的重組與鏈接, 使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí), 這點(diǎn)值得考生在復(fù)課時(shí)強(qiáng)化.
例1 已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
(1)寫(xiě)出直線的方程；
（2）計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；
（3）證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.
講解: 通過(guò)讀圖, 看出點(diǎn)的坐標(biāo).
(1 ) 顯然, 于是 直線
的方程為；
（2）由方程組
解出 、；
（3）,
.
由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.
需要注意的是, Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬(wàn)能公式, 有趣嗎?
例2 已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程．
講解：從直線所處的位置, 設(shè)出直線的方程,
由已知，直線l不過(guò)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為
代入橢圓方程 得
化簡(jiǎn)后，得關(guān)于的一元二次方程
于是其判別式
由已知，得△=0．即 ①
在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得
令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）， 由已知，得
代入①式并整理，得 , 即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程．
方程形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 你能畫(huà)出它的圖形嗎?
例3已知雙曲線的離心率，過(guò)的直線到原點(diǎn)的距離是
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.
講解：∵（1）原點(diǎn)到直線AB：的距離.
故所求雙曲線方程為
（2）把中消去y，整理得 .
設(shè)的中點(diǎn)是，則
即
故所求k=±.
為了求出的值, 需要通過(guò)消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程.
例4 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過(guò)左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的面積最大值為12．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）求橢圓C的方程．
講解：（1）設(shè), 對(duì) 由余弦定理, 得
，
解出
（2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：
i) 當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)l的方程為………………①
橢圓方程為
由 得 .
于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為 ………………②
將①代入②，消去得 ,
整理為的一元二次方程，得 .
則x1、x2是上述方程的兩根．且
，
ii) 當(dāng)k不存在時(shí)，把直線代入橢圓方程得
由①②知S的最大值為 由題意得=12 所以
故當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為：
下面給出本題的另一解法,請(qǐng)讀者比較二者的優(yōu)劣：
設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)的直線方程為：…………①
（這樣設(shè)直線方程的好處是什么？還請(qǐng)讀者進(jìn)一步反思反思.）
橢圓的方程為：
由得：于是橢圓方程可化為：……②
把①代入②并整理得：
于是是上述方程的兩根.
,
AB邊上的高,
從而
當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào)，即
由題意知, 于是 .
故當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為：
例5 已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線上.
（１）求此橢圓的離心率；
（2 ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的在圓上，求此橢圓的方程.
講解:（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 得
,
根據(jù)韋達(dá)定理，得
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）.
由已知得
故橢圓的離心率為 .
（2）由（1）知從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為
解得
由已知得
故所求的橢圓方程為 .
例6 已知⊙M：軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)，（1）如果，求直線MQ的方程；
（2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.
講解:（1）由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
，
故，
所以直線AB方程是
（2）連接MB，MQ，設(shè)由
點(diǎn)M，P，Q在一直線上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，并注意到，可得
適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)，這是快速解答本題的要害所在，還請(qǐng)讀者反思其中的奧妙.
例7 如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點(diǎn)，OA=OB，DO=2，曲線E過(guò)C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng)，且保持| PA |+| PB |的值不變.
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）過(guò)D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間，設(shè)，
試確定實(shí)數(shù)的取值范圍．
講解: （1）建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示 .
=
∵
∴曲線E的方程是 .
（2）設(shè)直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得
設(shè)M1（, 則
i) L與y軸重合時(shí)，
ii) L與y軸不重合時(shí)，
由①得
又∵,
∵ 或
∴0＜＜1 ,
∴ .
∵
而 ∴
∴
∴ , ,
∴的取值范圍是 .
值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應(yīng)當(dāng)引起警惕.
例8 直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A兩點(diǎn).
（1）求證：;
（2）求證：對(duì)于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.
講解: （1）易求得拋物線的焦點(diǎn).
若l⊥x軸，則l的方程為.
若l不垂直于x軸，可設(shè),代入拋物線方程整理得 .
綜上可知 .
（2）設(shè)，則CD的垂直平分線的方程為
假設(shè)過(guò)F，則整理得
，.
這時(shí)的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點(diǎn). 而l與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線.
此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識(shí)在記憶中積累，能力在聯(lián)想中提升. 課本是高考試題的生長(zhǎng)點(diǎn)，復(fù)課切忌忘掉課本！
例9 某工程要將直線公路l一側(cè)的土石，通過(guò)公路上的兩個(gè)道口A和B，沿著道路AP、BP運(yùn)往公路另一側(cè)的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，試說(shuō)明怎樣運(yùn)土石最省工？
講解: 以直線l為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)對(duì)立直角坐標(biāo)系，則在l一側(cè)必存在經(jīng)A到P和經(jīng)B到P路程相等的點(diǎn)，設(shè)這樣的點(diǎn)為M，則
|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,
即 |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
,
∴M在雙曲線的右支上.
故曲線右側(cè)的土石層經(jīng)道口B沿BP運(yùn)往P處，曲線左側(cè)的土石層經(jīng)道口A沿AP運(yùn)往P處，按這種方法運(yùn)土石最省工.
相關(guān)解析幾何的實(shí)際應(yīng)用性試題在高考中似乎還未涉及，其實(shí)在課本中還可找到典型的范例，你知道嗎？
解析幾何解答題在歷年的高考中�？汲Ｐ�, 體現(xiàn)在重視能力立意, 強(qiáng)調(diào)思維空間, 是用活題考死知識(shí)的典范. 考題求解時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化, 數(shù)形結(jié)合, 分類討論, 函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想, 以及定義法, 配方法, 待定系數(shù)法, 參數(shù)法, 判別式法等數(shù)學(xué)通法.
數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題怎么解
陜西永壽縣中學(xué) 特級(jí)教師安振平
數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題是歷年高考命題的主要題型之一, 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問(wèn)題的要害是深刻理解題意,學(xué)會(huì)文字語(yǔ)言向數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言的翻譯轉(zhuǎn)化,這就需要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,這當(dāng)中,函數(shù),數(shù)列,不等式，排列組合是較為常見(jiàn)的模型,而三角,立幾,解幾等模型也應(yīng)在復(fù)課時(shí)引起重視.
例1某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天定時(shí)開(kāi)放健身房和娛樂(lè)室。據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，每次去健身房的人有10%下次去娛樂(lè)室，而在娛樂(lè)室的人有20%下次去健身房.請(qǐng)問(wèn)，隨著時(shí)間的推移，去健身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)定？
講解: 引入字母,轉(zhuǎn)化為遞歸數(shù)列模型.
設(shè)第n次去健身房的人數(shù)為an，去娛樂(lè)室的人數(shù)為bn，則.
.
，于是
即 .
.故隨著時(shí)間的推移，去健身房的人數(shù)穩(wěn)定在100人左右.
上述解法中提煉的模型, 使我們聯(lián)想到了課本典型習(xí)題（代數(shù)下冊(cè)P.132第34題）
已知數(shù)列的項(xiàng)滿足
其中，證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是
有趣的是, 用此模型可以解決許多實(shí)際應(yīng)用題, 特別, 2002年全國(guó)高考解答題中的應(yīng)用題(下文例9)就屬此類模型.
例2 某人上午7時(shí)乘摩托艇以勻速V千米/小時(shí)（4≤V≤20）從A港出發(fā)前往50千米處的B港，然后乘汽車以勻速W千米/小時(shí)（30≤W≤100）自B港向300千米處的C市駛?cè)�，在同一天�?6時(shí)至21時(shí)到達(dá)C市, 設(shè)汽車、摩托艇所需的時(shí)間分別是x小時(shí)、y小時(shí)，若所需經(jīng)費(fèi)元，那么V、W分別為多少時(shí)，所需經(jīng)費(fèi)最少？并求出這時(shí)所花的經(jīng)費(fèi).
講解: 題中已知了字母, 只需要建立不等式和函數(shù)模型進(jìn)行求解.
由于又
則z最大時(shí)P最小.
作出可行域，可知過(guò)點(diǎn)（10，4）時(shí), z有最大值38，
∴P有最小值93，這時(shí)V=12.5，W=30.
視這是整體思維的具體體現(xiàn), 當(dāng)中的換元法是數(shù)學(xué)解題的常用方法.
例3 某鐵路指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后將有一場(chǎng)超歷史記錄的大暴雨，為確保萬(wàn)無(wú)一失，指揮部決定在24小時(shí)內(nèi)筑一道歸時(shí)堤壩以防山洪淹沒(méi)正在緊張施工的遂道工程。經(jīng)測(cè)算，其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20輛翻斗車同時(shí)作業(yè)24小時(shí)。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘有一輛車到達(dá)并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問(wèn)24小時(shí)內(nèi)能否完成防洪堤壩工程？并說(shuō)明理由.
講解: 引入字母, 構(gòu)建等差數(shù)列和不等式模型.
由20輛車同時(shí)工作24小時(shí)可完成全部工程可知，每輛車，每小時(shí)的工作效率為，設(shè)從第一輛車投入施工算起，各車的工作時(shí)間為a1，a2，…, a25小時(shí)，依題意它們組成公差（小時(shí)）的等差數(shù)列，且
，化簡(jiǎn)可得.
解得.
可見(jiàn)a1的工作時(shí)間可以滿足要求，即工程可以在24小時(shí)內(nèi)完成.
對(duì)照此題與2002年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)解答題中的應(yīng)用題, 你一定會(huì)感覺(jué)二者的解法是大同小異的. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就需要這種將舊模式中的方法遷移為解答新題的有用工具, 這要求你不斷的聯(lián)想, 力求尋找恰當(dāng)?shù)慕忸}方案.
數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題怎么解
陜西永壽縣中學(xué) 特級(jí)教師安振平
數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的一個(gè)新方向,其解法靈活且具有一定的探索性,這類題型按解題目標(biāo)的操作模式分為:規(guī)律探索型,問(wèn)題探究型,數(shù)學(xué)建模型,操作設(shè)計(jì)型,情景研究型.如果未知的是解題假設(shè),那么就稱為條件開(kāi)放題;如果未知的是解題目標(biāo),那么就稱為結(jié)論開(kāi)放題;如果未知的是解題推理,那么就稱為策略開(kāi)放題.當(dāng)然,作為數(shù)學(xué)高考題中的開(kāi)放題其“開(kāi)放度”是較弱的,如何解答這類問(wèn)題,還是通過(guò)若干范例加以講解.
例 1 設(shè)等比數(shù)列的公比為 ，前 項(xiàng)和為 ，是否存在常數(shù) ，使數(shù)列 也成等比數(shù)列？若存在，求出常數(shù)；若不存在，請(qǐng) 明 理 由.
講解 存在型開(kāi)放題的求解一般是從假設(shè)存在入手, 逐步深化解題進(jìn)程的.
設(shè)存在常數(shù)， 使數(shù)列 成等比數(shù)列.
(i) 當(dāng) 時(shí)， 代入上式得
即=0
但, 于是不存在常數(shù) ，使成等比數(shù)列.
(ii) 當(dāng) 時(shí)，， 代 入 上 式 得
.
綜 上 可 知 , 存 在 常 數(shù) ，使成等比數(shù)列.
等比數(shù)列n項(xiàng)求和公式中公比的分類, 極易忘記公比的 情 形, 可 不 要 忽 視 啊 !
例2 某機(jī)床廠今年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用，計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬(wàn)元，設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬(wàn)元.
（1）寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）從第幾年開(kāi)始，該機(jī)床開(kāi)始盈利（盈利額為正值）；
(3 ) 使用若干年后，對(duì)機(jī)床的處理方案有兩種：
(i )當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以30萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床；
(ii )當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床，問(wèn)用哪種方案處理較為合算？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
講解 本例兼顧應(yīng)用性和開(kāi)放性, 是實(shí)際工作中經(jīng)常遇到的問(wèn)題.
（1）
=.
（2）解不等式 ＞0,
得 ＜x＜.
∵ x∈N， ∴ 3 ≤x≤ 17.
故從第3年工廠開(kāi)始盈利.
（3）(i) ∵ ≤40
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=7時(shí)，等號(hào)成立.
∴ 到2008年，年平均盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利12×7+30=114萬(wàn)元.
(ii) y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102，
當(dāng)x=10時(shí)，ymax=102.
故到2011年，盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利102+12=114萬(wàn)元.
代數(shù)推理題怎么解
陜西永壽縣中學(xué) 特級(jí)教師安振平
數(shù)學(xué)是“教會(huì)年輕人思考”的科學(xué), 針對(duì)代數(shù)推理型問(wèn)題, 我們不但要尋求它的解法是什么, 還要思考有沒(méi)有其它的解法, 更要反思為什么要這樣解, 不這樣解行嗎?我們通過(guò)典型的問(wèn)題, 解析代數(shù)推理題的解題思路, 方法和技巧. 在解題思維的過(guò)程中, 既重視通性通法的演練, 又注意特殊技巧的作用, 同時(shí)將函數(shù)與方程, 數(shù)形結(jié)合, 分類與討論, 等價(jià)與化歸等數(shù)學(xué)思想方法貫穿于整個(gè)的解題訓(xùn)練過(guò)程當(dāng)中.
例1設(shè)函數(shù)，已知，時(shí)恒有，求a的取值范圍.
講解: 由
,
從而只要求直線L不在半圓C下方時(shí), 直線L 的y截距的最小值.
當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，易求得舍去）.
故.
本例的求解在于 關(guān)鍵在于構(gòu)造新的函數(shù), 進(jìn)而通過(guò)解幾模型進(jìn)行推理解題, 當(dāng)中, 滲透著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法, 顯示了解題思維轉(zhuǎn)換的靈活性和流暢性.
還須指出的是: 數(shù)形結(jié)合未必一定要畫(huà)出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提升, 還請(qǐng)三思而后行.
例2 已知不等式對(duì)于大于1的正整數(shù)n恒成立，試確定a的取值范圍.
講解: 構(gòu)造函數(shù)，易證(請(qǐng)思考:用什么方法證明呢?)為增函數(shù).
∵n是大于1的 正整數(shù)，
對(duì)一切大于1的正整數(shù)恒成立，必須,
即
這里的構(gòu)造函數(shù)和例1屬于同類型, 學(xué)習(xí)解題就應(yīng)當(dāng)在解題活動(dòng)的過(guò)程中不斷的逐類旁通, 舉一反三, 總結(jié)一些解題的小結(jié)論. 針對(duì)恒成立的問(wèn)題, 函數(shù)最值解法似乎是一種非常有效的同法, 請(qǐng)?zhí)釤捘愕男〗Y(jié)論.
例3 已知函數(shù)在區(qū)間[－b，1－b]上的最大值為25，求b的值.
講解: 由已知二次函數(shù)配方, 得
時(shí)，的最大值為4b2+3=25.
上遞增，
上遞增，
.
關(guān)于二次函數(shù)問(wèn)題是歷年高考的熱門(mén)話題, 值得讀者在復(fù)課時(shí)重點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練. 針對(duì)拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在不在區(qū)間[－b，1－b], 自然引出解題形態(tài)的三種情況, 這顯示了分類討論的數(shù)學(xué)思想在解題當(dāng)中的充分運(yùn)用. 該分就分, 該合就合, 這種辨證的統(tǒng)一完全依具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題而定, 需要在解題時(shí)靈活把握.
例4已知
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若
講解: （1） 對(duì) 已 知 函 數(shù) 進(jìn) 行 降 次 分 項(xiàng) 變 形 , 得 ,
（2）首先證明任意
事實(shí)上,
而
.
函 數(shù) 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識(shí) 又 考 能 力 的 好 題 型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓(xùn) 練 價(jià) 值.. 針對(duì)本例的求解, 你能夠想到證明任意采用逆向分析法, 給出你的想法!
例5 已知函數(shù)f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．?
(1) 證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P()對(duì)稱．?
(2) 令an＝，對(duì)一切自然數(shù)n，先猜想使an＞ｎ２成立的最小自然數(shù)a,并證明之．?
(3) 求證：∈Ｎ).
講解: (1)關(guān)于函數(shù)的圖象關(guān)于定點(diǎn)P對(duì)稱, 可采用解幾中的坐標(biāo)證法.
設(shè)M(x,y)是f(x)圖象上任一點(diǎn)，則M關(guān)于P()的對(duì)稱點(diǎn)為M’（１－ｘ，１－ｙ），?
∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上，
故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P()對(duì)稱.?
(2)將f(n)、f(1-n)的表達(dá)式代入an的表達(dá)式，化簡(jiǎn)可得an＝ａｎ猜a=3,
即3ｎ＞ｎ２．?
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．?
設(shè)n=k(k≥２)時(shí)，3ｋ＞ｋ２．?
那么n=k+1，3ｋ＋１＞３?３ｋ＞３ｋ２?
又3k２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－）２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）?
∴３ｎ＞ｎ２.?
(3)∵３ｋ＞ｋ２?
∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ?
令k=1,2,…，n，得n個(gè)同向不等式，并相加得：
函數(shù)與數(shù)列綜合型問(wèn)題在高考中頻頻出現(xiàn),是歷年高考試題中的一道亮麗的風(fēng)景線.針對(duì)本例,你能夠猜想出最小自然數(shù)a=3嗎? 試試你的數(shù)學(xué)猜想能力.
例6 已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根為x1和x2.
（1）如果，若函數(shù)的對(duì)稱軸為x=x0，求證：x0＞－1；
（2）如果，求b的取值范圍.
講解:（1）設(shè)，由得, 即
，
故；
（2）由同號(hào).
①若.
又，負(fù)根舍去）代入上式得
，解得；
②若 即4a－2b+3＜0.
同理可求得.
故當(dāng)
對(duì)你而言, 本例解題思維的障礙點(diǎn)在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同類問(wèn)題, 你會(huì)很順利的克服嗎? 我們力求做到學(xué)一題會(huì)一類, 不斷提高邏輯推理能力.
例7 對(duì)于函數(shù)，若存在成立，則稱的不動(dòng)點(diǎn)。如果函數(shù)有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)；
（3）如果數(shù)列滿足，求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立.
講解: 依題意有,化簡(jiǎn)為 由違達(dá)定理, 得
解得 代入表達(dá)式，由
得 不止有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
（2）由題設(shè)得 （*）
且 （**）
由（*）與（**）兩式相減得：
解得（舍去）或，由，若這與矛盾，，即{是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，；
（3）采用反證法，假設(shè)則由（1）知
,有
，而當(dāng)這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，.
關(guān)于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實(shí)上:
由得<0或
結(jié)論成立；
若，此時(shí)從而即數(shù)列{}在時(shí)單調(diào)遞減，由，可知上成立.
比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數(shù)學(xué)解題后需要進(jìn)行必要的反思, 學(xué)會(huì)反思才能長(zhǎng)進(jìn).
例8 設(shè)a，b為常數(shù)，：把平面上任意一點(diǎn)
（a，b）映射為函數(shù)
（1）證明：不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)函數(shù)；
（2）證明：當(dāng)，這里t為常數(shù)；
（3）對(duì)于屬于M的一個(gè)固定值，得，在映射F的作用下，M1作為象，求其原象，并說(shuō)明它是什么圖象.
講解: （1）假設(shè)有兩個(gè)不同的點(diǎn)（a，b），（c，d）對(duì)應(yīng)同一函數(shù)，即與相同，
即 對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立.
特別令x=0，得a=c；令，得b=d這與（a，b），（c，d）是兩個(gè)不同點(diǎn)矛盾，假設(shè)不成立.
故不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)同函數(shù).
（2）當(dāng)時(shí)，可得常數(shù)a0，b0，使
=
由于為常數(shù)，設(shè)是常數(shù).
從而.
（3）設(shè)，由此得
在映射F之下，的原象是（m，n），則M1的原象是
.
消去t得，即在映射F之下，M1的原象是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.
本題將集合, 映射, 函數(shù)綜合為一體, 其典型性和新穎性兼顧, 是一道用“活題考死知識(shí)”的好題目, 具有很強(qiáng)的訓(xùn)練價(jià)值.
例9 已知函數(shù)f(t)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.
（1）求f(1)的值;
（2）證明：對(duì)一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t；
（3）試求滿足f(t)=t的整數(shù)t的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.
講解 （1）為求f(1)的值，需令
令.
令.
（2）令(※)
.
由,
,
于是對(duì)于一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t.
（3）由※及（1）可知.
下面證明當(dāng)整數(shù).
(※)得
即……，
將諸不等式相加得
.
綜上，滿足條件的整數(shù)只有t=1，.
本題的求解顯示了對(duì)函數(shù)方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，這種賦值法在2002年全國(guó)高考第（21）題中得到了很好的考查.
例10 已知函數(shù)f（x）在（－1，1）上有定義，且滿足x、y∈（－1，1） 有
．
（1）證明：f（x）在（－1，1）上為奇函數(shù)；
（2）對(duì)數(shù)列求；
（3）求證
講解 （1）令則
令則 為奇函數(shù).
（2），
是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（3）
而
本例將函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等代數(shù)知識(shí)集于一題，是考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的范例. 在求解當(dāng)中，化歸出等比（等差）數(shù)列是數(shù)列問(wèn)題常用的解題方法.
解析幾何綜合題解題思路案例分析
北京中國(guó)人民大學(xué)附中 梁麗平
陜西省咸陽(yáng)市永壽中學(xué) 安振平
解析幾何綜合題是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一. 這類試題往往以解析幾何知識(shí)為載體，綜合函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識(shí)，所涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)解題能力考查的層次要求較高，考生在解答時(shí)，常常表現(xiàn)為無(wú)從下手，或者半途而廢。據(jù)此筆者認(rèn)為：解決這一類問(wèn)題的關(guān)鍵在于：通觀全局，局部入手，整體思維. 即在掌握通性通法的同時(shí)，不應(yīng)只形成一個(gè)一個(gè)的解題套路，解題時(shí)不加分析，跟著感覺(jué)走，做到那兒算那兒. 而應(yīng)當(dāng)從宏觀上去把握，從微觀上去突破，在審題和解題思路的整體設(shè)計(jì)上下功夫，不斷克服解題征途中的道道運(yùn)算難關(guān).
1 判別式----解題時(shí)時(shí)顯神功
案例1 已知雙曲線，直線過(guò)點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。
分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：
解題過(guò)程略.
分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：
簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為：
于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.
由于，所以，從而有
于是關(guān)于的方程
由可知：
方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于
.
由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .
點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.
2 判別式與韋達(dá)定理-----二者聯(lián)用顯奇效
案例2 已知橢圓C:和點(diǎn)P（4，1），過(guò)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程.
分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的.
由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來(lái)轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.
通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).
在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。
簡(jiǎn)解：設(shè)，則由可得：，
解之得： （1）
設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化簡(jiǎn)得： (3)
與聯(lián)立，消去得：
在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得
故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： （）.
點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道.
3 求根公式-----呼之欲出亦顯靈
案例3 設(shè)直線過(guò)點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.
分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.
分析1: 從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量――直線AB的斜率k. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
簡(jiǎn)解1：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得;
當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得
解之得
因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.
當(dāng)時(shí)，，，
所以 ===.
由 , 解得 ，
所以 ，
綜上 .
分析2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來(lái). 一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問(wèn)題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式.
簡(jiǎn)解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得
（*）
則
令，則，
在（*）中，由判別式可得 ，
從而有 ，
所以 ，
解得 .
結(jié)合得.
綜上，.
點(diǎn)評(píng)：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.
解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，只有見(jiàn)微知著，樹(shù)立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里.
二次函數(shù)綜合問(wèn)題例談
北京中國(guó)人民大學(xué)附中 梁麗平
陜西省咸陽(yáng)市永壽中學(xué) 安振平
二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡(jiǎn)單又具有豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系. 這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 同時(shí)，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)深造的重要知識(shí)基礎(chǔ). 因此，從這個(gè)意義上說(shuō)，有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇了.
學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個(gè)方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問(wèn)題.
1. 代數(shù)推理
由于二次函數(shù)的解析式簡(jiǎn)捷明了，易于變形（一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式等），所以，在解決二次函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，常常借助其解析式，通過(guò)純代數(shù)推理，進(jìn)而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).
1.1 二次函數(shù)的一般式中有三個(gè)參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于：通過(guò)三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù).
例1 已知，滿足1且，求的取值范圍.
分析：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以把1和當(dāng)成兩個(gè)獨(dú)立條件，先用和來(lái)表示.
解：由，可解得：
（*）
將以上二式代入，并整理得
,
∴ .
又∵，,
∴ .
例2 設(shè)，若，，, 試證明：對(duì)于任意，有.
分析：同上題，可以用來(lái)表示.
解：∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
綜上，問(wèn)題獲證.
1.2 利用函數(shù)與方程根的關(guān)系，寫(xiě)出二次函數(shù)的零點(diǎn)式
例３ 設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 當(dāng)時(shí)，證明.
分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫(xiě)出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式.
證明：由題意可知.
,
∴ ,
∴ 當(dāng)時(shí)，.
又,
∴ ,
綜上可知，所給問(wèn)題獲證.
1.3 緊扣二次函數(shù)的頂點(diǎn)式對(duì)稱軸、最值、判別式顯合力
例4 已知函數(shù)。
（1）將的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)，求函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)，已知的最小值是且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解：(1)
(2)設(shè)的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由點(diǎn)Q在的圖像上，所以
，
于是
即
（3）.
設(shè)，則.
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)恒成立. 即
對(duì)恒成立. （*）
故必有.（否則，若，則關(guān)于的二次函數(shù)開(kāi)口向下，當(dāng)充分大時(shí)，必有；而當(dāng)時(shí)，顯然不能保證（*）成立.），此時(shí)，由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸，所以，問(wèn)題等價(jià)于，即，
解之得：.
此時(shí)，，故在取得最小值滿足條件.
2. 數(shù)形結(jié)合
二次函數(shù)的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對(duì)稱性、單調(diào)性、凹凸性等. 結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，可以化難為易.，形象直觀.
2.1 二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱， 特別關(guān)系也反映了二次函數(shù)的一種對(duì)稱性.
例5 設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，證明：.
解：由題意 .
由方程的兩個(gè)根滿足, 可得
且,
∴ ，
即 ，故 .
2.2 二次函數(shù)的圖像具有連續(xù)性，且由于二次方程至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 所以存在實(shí)數(shù)使得且在區(qū)間上，必存在的唯一的實(shí)數(shù)根.
例6 已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和.
（1）如果，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸為，求證：；
（2）如果，，求的取值范圍.
分析：條件實(shí)際上給出了的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化.
解：設(shè)，則的二根為和.
（1）由及，可得 ，即，即
兩式相加得，所以，;
（2）由, 可得 .
又，所以同號(hào).
∴ ，等價(jià)于或,
即 或
解之得 或.
2.3 因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得.
例7 已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，求證：當(dāng)時(shí)，有.
分析：研究的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說(shuō)，應(yīng)該盡量用已知條件來(lái)表達(dá)參數(shù). 確定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考慮，，，這樣做的好處有兩個(gè)：一是的表達(dá)較為簡(jiǎn)潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)，這樣做能夠較好地利用條件來(lái)達(dá)到控制二次函數(shù)范圍的目的.
要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮在區(qū)間端點(diǎn)和頂點(diǎn)處的函數(shù)值.
解：由題意知：，
∴ ，
∴ .
由時(shí)，有，可得 .
∴ ,
.
（1）若，則在上單調(diào)，故當(dāng)時(shí)，
∴ 此時(shí)問(wèn)題獲證.
（2）若，則當(dāng)時(shí)，
又，
∴ 此時(shí)問(wèn)題獲證.
綜上可知：當(dāng)時(shí)，有.
WORD版，共七篇，目錄如下：
1、二次函數(shù)綜合問(wèn)題例談
北京中國(guó)人民大學(xué)附中 梁麗平；陜西省咸陽(yáng)市永壽中學(xué) 安振平
2、解析幾何綜合題解題思路案例分析 梁麗平 安振平
3、代數(shù)推理題怎么解 特級(jí)教師安振平
4、數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題怎么解 特級(jí)教師安振平
5、數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題怎么解 特級(jí)教師安振平
6、解析幾何題怎么解 特級(jí)教師安振平
7、立體幾何題怎么解 特級(jí)教師安振平
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