浙江省寧波市2008-2009學(xué)年第二學(xué)期高三八校聯(lián)考
數(shù)學(xué)理科
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若全集,集合
,集合
,則集合
等于
2. 已知復(fù)數(shù),
,則
在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D) 第四象限
3.二項(xiàng)式
的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是
4.若框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為S=90,那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的條件是
5.已知函數(shù)y =(
)+k的最大值是4,最小值是0,最小正周期是
,直線
是其圖象的一條對稱軸,則下面各式中符合條件的解析式是
(A) (B)
(C) (D)
6.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角,則四面體
的外接球的體積為
7.已知雙曲線的離心率的范圍是數(shù)集
,設(shè)
;
“函數(shù)
的值域?yàn)?sub>
”.則
是
成立的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
8.下列函數(shù)中,對任意由關(guān)系式
得到的數(shù)列
滿足
.則該函數(shù)是
9.已知:,則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過
的
(A)內(nèi)心 (B)外心 (C)垂心 (D)重心
10.若圓方程為:
;圓
方程為:
.
則方程表示的軌跡是
線段
的中垂線
過兩圓內(nèi)公切線交點(diǎn)且垂直線段
的直線
兩圓公共弦所在的直線
一條直線且該直線上的點(diǎn)到兩圓的切線長相等
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分.
11.已知圖象是一條連續(xù)的曲線,且在區(qū)間
內(nèi)有唯一零點(diǎn)
,用“二分法”求得一系列含零點(diǎn)
的區(qū)間,這些區(qū)間滿足:
若
,則
的符號為 ▲ .(填:"正","負(fù)","正、負(fù)、零均可能")
12. ▲ .
13.已知兩動點(diǎn)
分別在函數(shù)
的圖象上,則
▲ .
14.已知點(diǎn)P(x,y)滿足條件y的最大值為8,則
▲ .
15.在正整數(shù)集中,將僅含數(shù)碼0,1,2,3,4的數(shù)從小到大排成數(shù)列,則
,
,
,…,
▲ .
16.設(shè),若對于任意
,總存在
,使得
成立,則
的取值范圍是 ▲ .
17.2009年的復(fù)旦大學(xué)自主招生測驗(yàn)卷為200道單選題,總分1000分.每題含有4個選擇支,選對得5分,選錯扣2分,不選得0分.某考生遇到5道完全不會解的題,經(jīng)過思考,他放棄了這5題,沒有猜答案.請你用數(shù)學(xué)知識來說明他放棄這5題的理由: ▲ .
三、解答題:本大題共5小題,共72分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
18.(本題14分)某市十所重點(diǎn)中學(xué)進(jìn)行高三聯(lián)考,共有5000名考生,為了了解數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)情況,現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在這次測試中的數(shù)學(xué)成績,制成如下頻率分布表:
(Ⅰ)根據(jù)上面頻率分布表,推出①,②,③,④處的數(shù)值分別為 ,
, , ;
(Ⅱ)在所給的坐標(biāo)系中畫出區(qū)間[80,150]上的頻率分布直方圖;
(Ⅲ)根據(jù)題中信息估計總體:(?)120分及以上的學(xué)生數(shù);(?)平均分;(?)成績落在[126,150]中的概率.
19.(本題14分)已知四棱錐的三視圖如下圖所示,
是側(cè)棱
上的動點(diǎn).
(Ⅰ) 求四棱錐的體積;
(Ⅱ) 是否不論點(diǎn)在何位置,都有
?證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)
若點(diǎn)為
的中點(diǎn),求二面角
的大小.
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20. (本題15分)已知是
上的單調(diào)函數(shù),
,
,總有
恒成立.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,且
,有
,記
,
,比較
與
的大小并給出證明;
(Ⅲ)若不等式對
都成立,求
的取值范圍.
21. (本題14分) 已知的三個頂點(diǎn)均在橢圓
上,且點(diǎn)
在y軸的正半軸上.
(Ⅰ)若的重心是橢圓的右焦點(diǎn)
,試求直線BC的方程;
(Ⅱ)若,試證直線
恒過定點(diǎn).
22.(本題15分)已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)時,兩曲線
有公共點(diǎn)P,設(shè)曲線
在P處的切線分別為
,若切線
與
軸圍成一個等腰三角形,求P點(diǎn)坐標(biāo)和
的值;
(Ⅲ)當(dāng)時,討論關(guān)于
的方程
的根的個數(shù)。
寧波市八校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題(理科)答題卷
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解答
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17.
三、解答題:本大題共5小題,共72分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
18.(本題14分)
解:(Ⅰ)根據(jù)頻率分布表,可推出①,②,③,④處的數(shù)值分別為 ,
, , ;
19.(本題14分)
20.(本題15分)
21.(本題14分)
22.(本題15分)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解答
D
D
A
B
D
C
C
B
D
D
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分
11. 負(fù)
12.
13. 7 14.
15. 4010
16.
17.若他不放棄這5道題,則這5道題得分的期望為:
三、解答題:本大題共5小題,共72分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
18.解:(Ⅰ)①,②,③,④處的數(shù)值分別為:3,0.025,0.100,1.…………4分
(Ⅱ)
…………………………………………………………………………8分
(Ⅲ)(?)120分及以上的學(xué)生數(shù)為:(0.275+0.100+0.050)×5000=2125;
(?)平均分為:
(?)成績落在[126,150]中的概率為:
…………………………………………………………………………14分
19.解:(Ⅰ) 由三視圖可知,四棱錐的底面是邊長為1的正方形,
側(cè)棱底面
,且
.
∴,
即四棱錐的體積為
.
………………………………4分
(Ⅱ) 不論點(diǎn)在何位置,都有
.
證明如下:連結(jié),∵
是正方形,∴
.
∵底面
,且
平面
,∴
.
又∵,∴
平面
.
∵不論點(diǎn)在何位置,都有
平面
.
∴不論點(diǎn)在何位置,都有
. ………………………………8分
(Ⅲ) 解法1:在平面內(nèi)過點(diǎn)
作
于
,連結(jié)
.
∵
,
,
,
∴Rt△≌Rt△
,
從而△≌△
,∴
.
∴為二面角
的平面角.
在Rt△中,
,
又,在△
中,由余弦定理得
,
∴,即二面角
的大小為
. …………………14分
解法2:如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),
所在的直線分別為
軸建立空間直角
坐標(biāo)系. 則,從而
,
,
,
.
設(shè)平面
和平面
的法向量分別為
,
,
由,取
.
由,取
.
設(shè)二面角的平面角為
,
則,
∴,即二面角
的大小為
. …………………14分
20.解:(Ⅰ)令①
令 ②
由①、②知,,又
是
上的單調(diào)函數(shù),
. ………………………………………………………………………4分
(Ⅱ),
.
,
…………………………………………………………………10分
(Ⅲ)令,則
……………………12分
對
都成立
…………………………………………………………………………………15分
21.解:(Ⅰ)設(shè)B(,
),C(
,
),BC中點(diǎn)為(
),F(2,0).
則有.
兩式作差有
.
設(shè)直線BC的斜率為,則有
. (1)
因F2(2,0)為三角形重心,所以由,得
由得
,
代入(1)得.
直線BC的方程為.
…………………………………………7分
(Ⅱ)由AB⊥AC,得 (2)
設(shè)直線BC方程為,得
,
代入(2)式得,,
解得或
故直線過定點(diǎn)(0,
. …………………………………………14分
22.解:(Ⅰ)
.
當(dāng)時,
.從而有
.…………………5分
(Ⅱ)設(shè)P,切線
的傾斜角分別為
,斜率分別為
.則
.
由切線與
軸圍成一個等腰三角形,且
均為正數(shù)知,該三角形為鈍角三角形,
或
.又
.從而,
.
…………………………………………………………………………………10分
(Ⅲ)令
;
.
.
又.
.
當(dāng)時,即
時,曲線
與曲線
無公共點(diǎn),故方程
無實(shí)數(shù)根;
當(dāng)時,即
時,曲線
與曲線
有且僅有1個公共點(diǎn),故方程
有且僅有1個實(shí)數(shù)根;
當(dāng)時,即
時,曲線
與曲線
有2個交點(diǎn),故方程
有2個實(shí)數(shù)根.
…………………………………………………………………15分
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