資陽市2008―2009學年度高中三年級第三次高考模擬考試
數 學（理工農醫(yī)類）
本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分． 第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至8頁．全卷共150分，考試時間為120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、考號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上．
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上．
3．考試結束時，將本試卷和答題卡一并收回．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面積公式
如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
球的體積公式
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么 
n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目的要求的．
1．設全集U=R，集合
，集合
，則下列關系中正確的是
（A）
（B）
（C）
（D）
2．設i為虛數單位，復數
（A）-i （B）i （C）-2i （D）2i
3．已知函數
的最小正周期為
，則該函數圖象的一個對稱中心的坐標是
（A）
（B）
（C）
（D）
4．二項式
展開式中的第四項為
（A）-15 （B）15 （C）-20 （D）20
5．已知
，則
（A）5 （B）
（C）2 （D）1
6．如圖，在正方體ABCD-A1B
（A）
（B）
（C）
（D）
7．在等差數列
中，
，
，則數列的公差等于
（A）1 （B）4 （C）5 （D）6
8．已知α、β是兩個不重合的平面，l是空間一條直線，命題p：若α∥l，β∥l，則α∥β；命題q：若α⊥l，β⊥l，則α∥β．對以上兩個命題，下列結論中正確的是
（A）命題“p且q”為真 （B）命題“p或q”為假
（C）命題“p或q”為真 （D）命題“Øp”且“Øq”為真
9．如圖3，橢圓
的左、右焦點分別為F1、F2，若以該橢圓的右焦點F2為圓心的圓經過坐標原點，且被橢圓的右準線分成弧長為
的兩段弧，那么該橢圓的離心率等于
（A）
（B）
（C）
（D）
10．從A、B、C、D、E、F這6名運動員中選派4人參加4×100接力賽，參賽者每人只跑一棒，其中第一棒只能從A、B中選一人，第四棒只能從A、C中選一人，則不同的選派方案共有
（A）24種 （B）36種 （C）48種 （D）72種
11．過直線
上的一點作圓
的兩條切線l1、l2，當直線l1，l2關于直線對稱時，則直線l1、l2之間的夾角為
（A） （B） （C） （D）
12．在區(qū)間[0，1]上任意取兩個實數a、b，則函數
在區(qū)間[－1,1]上有且僅有一個零點的概率為
（A）
（B）
（C）
（D）
資陽市2008―2009學年度高中三年級第三次高考模擬考試
數 學（理工農醫(yī)類）
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
題號
二
三
總分
總分人
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
得分
注意事項：
1．第Ⅱ卷共6頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷上．
2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚．
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分． 把答案直接填在題目中的橫線上．
13．已知函數
的反函數為
，則
= .
14．拋物線
上一點P到焦點F的距離為2，則點P的坐標是 .
15．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱底面邊長為1，體積為
，則這個球體的表面積是_____________．
16．△ABC中
，角A、B、C對邊分別為a、b、c，AH為BC邊上的高，給出以下四個結論：①
；②
；③若
，則
為銳角三角形；④
．其中所有正確結論的序號是________．
三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
已知
，
，其中
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
．
18．（本小題滿分12分）
某校要組建一支籃球隊，需要在高一各班選拔預備隊員，按照投籃成績確定入圍選手，選拔過程中每人最多有5次投籃機會．若累計投中3次或累計3次未投中，則終止投籃，其中累計投中3次者直接入圍，累計3次未投中者則被淘汰．已知某班學生甲每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．
（Ⅰ）求學生甲最多投籃4次就入圍的概率；
（Ⅱ）設學生甲投籃次數為隨機變量x，寫出
的分布列，并求的數學期望．
19．（本小題滿分12分）
如圖4，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F為CD的中點．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成銳二面角的大��；
（Ⅲ）求三棱錐A-BCE的體積．
20．（本小題滿分12分）
已知函數
（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）當
時，求函數
的單調區(qū)間；
（Ⅱ）設不等式
的解集為P，且集合
，求實數t的取值范圍．
21．（本小題滿分12分）
已知動圓G過點
，并且與圓
相外切，記動圓圓心G的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）直線l過點M且與軌跡E交于P、Q兩點：
①設點
，問：是否存在直線l，使
成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
②過P、Q作直線
的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記
，求
的取值范圍．
22．（本小題滿分14分）
數列{an}中，
，
，且
（其中n∈N*，c為常數，且
）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）證明不等式：
；
（Ⅲ）比較
與
的大小，并加以證明．
資陽市2008―2009學年度高中三年級第三次高考模擬考試
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．
1-5：CDACB； 6-10：ABCDB； 11-12：CD.
二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．
13．1； 14．
； 15．
； 16．①②④．
三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．解：（Ⅰ）∵
，∴
，
∵
，∴
．?????????????????????????????????????????????????????????? 2分
則
???????????????????????????????????? 4分
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
，，
，則
．???????????????????????? 8分
則
．?????????????????????????????????????????????????????? 10分
∵
，∴
，∴
．????????????????????????????????????????? 12分
18．解：（Ⅰ）設“學生甲投籃3次入圍”為事件A；“學生甲投籃4次入圍”為事件B，且事件A、B互斥． 1分
則
；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
故學生甲最多投籃4次就入圍的概率為
．?????????????????????????? 6分
（Ⅱ）依題意，
的可能取值為3，4，5．則
，??????????????? 7分
，?????????????????????????????????????????????? 8分
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
則的分布列為：
3
4
5
P
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
故
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
19．解：方法一 （Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF
平面ACD，
∴DE⊥AF．又∵AC=AD，F為CD中點，∴AF⊥CD，因CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）延長DA，EB交于點H，連結CH，因為AB∥DE，AB=
DE，所以A為HD的中點．因為F為CD中點，所以CH∥AF，因為AF⊥平面CDE，所以CH⊥平面CDE，故∠DCE為面ACD和面BCE所成二面角的平面角，而△CDE是等腰直角三角形，則∠DCE=45°，則所求成銳二面角大小為45°．
???????????? 8分
（Ⅲ）
，因DE∥AB，故點E到平面ABC的距離h等于點D到平面ABC的距離，也即△ABC中AC邊上的高
．??????????????????????????????????????????????????? 10分
∴三棱錐體積
．???????? 12分
方法二 （Ⅱ）取CE的中點Q，連接FQ，因為F為CD的中點，則FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA兩兩垂直，以O為坐標原點，建立如圖坐標系，則F（0，0，0），C（
，0，0），A（0，0，
），B（0，1，
），E（1，2，0）．平面ACD的一個法向量為
， 5分
設面BCE的法向量
，
則
即
取
．
則
．???????????????????????????? 7分
∴面ACD和面BCE所成銳二面角的大小為45°．?????????? 8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知面BCE的一個法向量為，
．點A到BCE的距離
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
又
，
，
，△BCE的面積
．?? 11分
三棱錐A-BCE的體積
．??????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．解：（Ⅰ）當
時，
，
．?????????????????????????????????????? 1分
由
，解得
；
，解得
．????????????????????????? 3分
∴函數
的單調遞增區(qū)間是
；單調遞減區(qū)間是
．????????????????????????? 4分
（Ⅱ）由不等式
的解集為P，且
，可知，對于任意
，不等式恒成立，即
即
在上恒成立．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
令
，∴
．???????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
當
時，
；當
時，
．
∴函數
在
上單調遞增；在
上單調遞減．????????????????????????????????????????? 10分
所以函數在
處取得極大值
，即為在上的最大值．
∴實數t的取值范圍是
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
21．解：（Ⅰ）由已知 
，∴點G的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支． 2分
設方程為
，則
，
，∴
．??????????????????????????????????????? 3分
故軌跡E的方程為
．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）①若存在．據題意，直線l的斜率存在且不等于0，設為k（k≠0），則l的方程為
，與雙曲線方程聯立消y得
，設
、
，
∴
解得
．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
由
知，△HPQ是等腰三角形，設PQ的中點為
，則
，即
． 6分
而
，
，即
．
∴
，即
，解得
或
，因，故．
故存在直線l，使成立，此時l的方程為
．???????????????????????? 8分
②∵
，∴直線
是雙曲線的右準線，由雙曲線定義得：
，
，∴
．???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
方法一：當直線l的斜率存在時，∴
．∵，∴
，∴
.???????????????????????? 11分
當直線l的斜率不存在時，
，
，綜上
.??????????????????????? 12分
方法二：設直線
的傾斜角為
，由于直線與雙曲線右支有兩個交點，
∴
，過Q作
，垂足為C，則
，
∴
，由，得
，
∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
22．（Ⅰ）解：
，
，∴
．??????????????????????? 2分
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知
，
∴
，當且僅當
時，
．
∵a1=1，故
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
下面采用數學歸納法證明
．
當n=1時，a1=1<2，結論成立．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
假設n=k時，結論成立，即
，則n=k+1時，
，而函數
在
上單調遞增，由
，
∴
，即當n=k+1時結論也成立．???????????????????????????????????????? 7分
綜上可知：
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
（Ⅲ）解：由
，有
，
∴ ，∴
．?????????????????????????????? 10分
故
，
則
．????????????????????????????? 12分
由，
，求得
．
當n=1時，
；當n=2時，
；當n≥3時，由（Ⅱ）知
，有
． 14分
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