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練習冊

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試題

上海市四校2009屆高三質量調研

數(shù)學（文科）試題

考生注意：

1.答卷前，考生務必在答題紙上將姓名、高考準考證號填寫清楚.

2.本試卷共有21道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.

一、填空題 (本大題滿分55分）本大題共有11題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得5分，否則一律得零分。

1．已知，若為純虛數(shù)，則的值為。

2．已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是。

3．已知函數(shù)，。

4．在的二項展開式中，中間項的系數(shù)是__________。

5．已知數(shù)列滿足：，且對任意的正整數(shù)，都有，若數(shù)列

的前項和為，則。

6．已知雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，則。

7．一個空間幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示，則這個幾何體的體積是。

8．已知對于任意實數(shù)，函數(shù)滿足. 若方程有且僅有2009個實數(shù)解，則這2009個實數(shù)解之和為。

9．袋中有3個白球，2個紅球和若干個黑球（球的大小均相同），從中任取2個球，設每取得一個黑球得0分，每取得一個白球得1分，每取得一個紅球得2分，已知得0分的概率為，則袋中黑球的個數(shù)為。

10．中，分別是角的對邊，已知，，現(xiàn)有以下判斷:

① 不可能等于15；② 若,則；③若,則有兩解。請將所有正確的判斷序號填在橫線上____________。

11．如圖，半圓的直徑，為圓心，為半圓

上不同于的任意一點，若為半徑上的動點，

則的最小值是__________。

二、選擇題(本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得 4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個，一律得零分。

12．設已知全集，集合，則等于 ( )

13．設（）

(A)0 　(B)1 (C)2 (D)3

14．已知點P（x，y）是直線kx + y + 4 = 0（k > 0）上一動點，PA、PB是圓C：的兩條切線，A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（）

15．已知不等式對于,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是( )

三、解答題(本大題滿分90分)本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.

16.(本題滿分11分) 如圖，、是單位圓上的點，是單位圓與軸正半軸的交點，點的坐標為，三角形為等邊三角形。求及的值。

17. (本題滿分12分) 本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分。

如圖，四面體中，、分別是、的中點，

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成角的大小。

18. (本題滿分12分) 本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分。

某企業(yè)為打入國際市場，決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn)。已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關數(shù)據(jù)如下表：（單位：萬美元）

項目

類別

年固定成本

（單位：萬美元）

每件產(chǎn)品成本

（單位：萬美元）

每件產(chǎn)品銷售價

（單位：萬美元）

每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)（單位：件）

A產(chǎn)品

20

10

200

B產(chǎn)品

40

8

18

120

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關，為常數(shù)，且。另外，年銷售件B產(chǎn)品時需上交萬美元的特別關稅。

（1）寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤，與生產(chǎn)相應產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關系并指明其定義域；

（2）如何投資才可獲得最大年利潤。

19. (本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。

已知函數(shù)，

（1）判斷的奇偶性，并說明理由；

（2）當時，判斷在區(qū)間上的單調性，并給出證明。

20. (本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分。

在直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為,

也是拋物線的焦點，點為與在第一象限的交點，且。

（Ⅰ）求點的的坐標及橢圓的方程；

（Ⅱ）已知直線，且與橢圓交于兩點，提出一個與面積相關的問題，并作出正確解答。

21. (本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。

已知為實數(shù)，數(shù)列滿足，當時，，

（1）當時，填寫下列列表格：

2

3

35

100

（2）當時，求數(shù)列的前100項的和；

（3）證明：對于數(shù)列，一定存在，使。

2007學年度四校質量調研

高三數(shù)學試卷(文科)

一、填空題：

1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8．2009 9．4個 10．①② 11．

二、選擇題：

12．B 13．C 14．D 15．D

三、解答題：

16．解：(Ⅰ)因為點的坐標為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，

，， 2分

所以 4分

(Ⅱ)因為三角形為正三角形，所以，，， 5分

所以

7分

所以

。 11分

17．方法一：（I）證明：連結OC，因為所以

又所以， 2分

在中，由已知可得而

所以所以即，

而所以平面。 5分

（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知

所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角， 7分

在中，因為是直角斜邊AC上的中線，所以所以

所以異面直線AB與CD所成角的大小為。 12分

18．解：（Ⅰ）由年銷售量為件，按利潤的計算公式，有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤分別為：

且 2分

所以 5分

（Ⅱ）因為所以為增函數(shù)，

，所以時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤為（萬美元）

又，所以時，生產(chǎn)B產(chǎn)品

有最大利潤為460（萬美元） 8分

現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤最大，為此，我們作差比較：

10分

所以：當時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤;

當時，生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤；

當時，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤。12分

19．解：（1）當時，，成立，所以是偶函數(shù)；

3分

當時，，這時所以是非奇非偶函數(shù)； 6分

（2）當時，設且,則

9分

當時，因為且，所以

所以，

，所以是區(qū)間的單調遞減函數(shù)。 14分

20．解：（Ⅰ）由拋物線：知，設，在上，且，所以，得，代入，得，

所以。 4分

在上，由已知橢圓的半焦距，于是

消去并整理得，解得（不合題意，舍去）．

故橢圓的方程為。 7分

（另法：因為在上，

所以，所以，以下略。）

（Ⅱ）由得，所以點O到直線的距離為

，又，

所以，

且。 10分

下面視提出問題的質量而定：

如問題一：當面積為時，求直線的方程。（）得2分

問題二：當面積取最大值時，求直線的方程。（）得4分

21．解：(1)

2

3

35

100

97

94

3

1

4分

（2）由題意知數(shù)列的前34項成首項為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1, 6分

從而= 8分

= 10分

（3）證明：①若,則題意成立， 12分

②若,此時數(shù)列的前若干項滿足,即，

設,則當時,，

從而此時命題成立； 14分

③若,由題意得,則由②的結論知此時命題也成立，

綜上所述,原命題成立。 16分

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