2009屆深圳市第二實驗學(xué)校高三模擬考試一
數(shù)學(xué)(理科)
參考公式:錐體的體積公式,其中
是錐體的底面積,
是錐體的高.
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個選項中。只有一項是符合題目要求的。
1.設(shè)集合,則滿足
的集合
的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
1.
2.在等比數(shù)列中,已知
,那么
( )
2.
A.4
B.6
C.12
D.16
3. 3.在樣本的頻率分布直方圖中,共有11個小長方形,若其中一個小長方形的面積等于其他10個小長方形面積和的四分之一,樣本容量為160,則該小長方形這一組的頻數(shù)為( )
4.
A .32 B. C.40 D.
4.若,則
大小關(guān)系是( )
A. B.
C.
D.
5.如圖是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體的體積是( )
A.27 B.30 C.33 D.36
6.在中,
分別為三個內(nèi)角
所對應(yīng)的邊,設(shè)向量
,
,若
,則角
的大小為( )
A. B.
C.
D.
7.函數(shù)的圖象恒過定點
,若點
在直線
上,其中
,則
的最小值為( )
A.2
B. D.
8.若直線與圓
交于
兩點,且
關(guān)于直線
對稱,動點P
在不等式組
表示的平面區(qū)域內(nèi)部及邊界上運動,則
的取值范圍是( )
A. B.
C.
D.
二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,滿分30分.其中13~15題是選做題,考生只能選做兩題,三題全答的,只計算前兩題得分.
9.在可行域內(nèi)任取一點規(guī)范如框圖所示,則能輸出數(shù)對的概率是 .
10.如果復(fù)數(shù),則
的展開式(按
的升冪排列)的第5項是
。
11、已知,則
=
。
12.已知直線與圓
交于
兩點,且
,其中
為坐標(biāo)原點,則實數(shù)
的值為_________________。
13.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)極坐標(biāo)內(nèi)曲線的中心
與點
的距離為 .
14.(不等式選講選做題)函數(shù)
15.(幾何證明選講選做題)如圖,DA,CB,DC與以AB為直徑的半圓分別
相切于點A、B、E,且BC:AD=1:2,CD=
則四邊形ABCD的面積等于
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16、(本題滿分12分) 在△ABC中,為三個內(nèi)角
為三條邊,
且
(1)判斷△ABC的形狀; (2)若
,求
的取值范圍
17.(本小題滿分12分)
如圖, 在正方體―
中,
為的中點.
(1)證明:平面平面
;
(2)求與平面
所成角的大小的正弦值.
18.(本小題滿分14分)
一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3、4數(shù)字的4個球, 從這只袋中每次取出1個球, 取出后放回, 連續(xù)取三次, 設(shè)三次取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為.
(1)求時 的概率;(2)求
的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.
19.(本小題滿分14分)
已知橢圓M的對稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線的焦點是橢圓M的一個焦
點,又點在橢圓M上。
(I)求橢圓M的方程;
(II)已知直線l的方向向量為與橢圓M交于B、C兩點,求△ABC面積的最大值。
20.(本小題滿分14分)
已知函數(shù),過該函數(shù)圖象上任意一點
(1)證明:圖象上的點總在
圖象的上方;
(2)若上恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
21.(本小題滿分14分)
已知數(shù)列滿足:
,且
.求證:
(1)數(shù)列為等比數(shù)列;(2)
.
(一)
一、選擇題
1~8:CAAD BBBD
二、填空題
9、
10、35
11、
12、
13、
14、10
15、
三、解答題
16、解:(1)由及正弦定理有:
∴或
……….2分
若,且
,
∴,
;
……….4分
∴,則
,∴
三角形.
……….6分
(2)∵ ,∴
,
∴,而
,
……….8分
∴,∴
,∴
.
……….12分
17解:(1)取的中點
的中點
連結(jié)
平面
,
.
又,
平面
.……………………………3分
,
四邊形
是平行四邊形,
平面
又平面
,
平面
平面
………………………………6分
。ǎ玻┻^作
于
,連結(jié)
.
由(1)中的平面平面
知
面
,所以
在面
上的射影為
,所以
就是所求的角. …………………………………………9分
令正方體的棱長為,所以
,所以
.
即與平面
所成角的大小的正弦值為
. …………………………12分
18解:(1)表示取出的三個球中數(shù)字最大者為3.
①三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率
②三取取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率
③三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率
∴. ……………………………………………………7分
(2)在時, 利用(1)的原理可知:
,(
=1,2,3,4)
1
2
3
4
的概率分布為:
=1×+2×+3×+4× = .………………………………………………7分
19、解:(I)由已知拋物線的焦點為
故所求橢圓方程為 …………6分
(II)設(shè)直線BC的方程為
代入橢圓方程并化簡得 …………9分
又點A到BC的距離為, …………11分
所以△ABC面積的最大值為 …………14分
20解:(1),
設(shè)
為增,
當(dāng)
,
所以圖象上的點總在
圖象的上方. …………………………6分
(2)當(dāng).
x
(-∞,0)
(0,1)
1
(1,+∞)
F‘(x)
-
-
0
+
F(x)
減
減
e
增
①當(dāng)x>0時,F(xiàn)(x)在x=1時有最小值e,.
②當(dāng)x<0時,F(xiàn)(x)為減函數(shù),
,
.
③當(dāng)x=0時,∈R.
由①②③,恒成立的
的范圍是
. ……………………………………14分
21解:(1)由得
.
而,所以
,
所以數(shù)列為等比數(shù)列. …………………………………………4分
(2)由(1)有. ……………………………………6分
所以,
,……,
,累和得
. …8分
因為,………………………………………………9分
所以.
記,用錯位相減法得
,所以
.
所以.
即當(dāng)為奇數(shù)時命題成立.……………………………………………………………11分
又,
所以.即當(dāng)
為偶數(shù)時命題成立.
綜合以上得.………………………………………………13分
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