2008年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試（寧夏卷）
數(shù)學(xué)（理科）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1、已知函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在區(qū)間[0，2π]的圖像如下：
開始 x=a 結(jié)束 x=b x=c 那么ω=（ ） A. 1 B.
2 C.
1/2 D.
1/3 2、已知復(fù)數(shù)，則（ ） A. 2 B.
－2 C. 2i D. －2i 3、如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的 余弦值為（ ） A. 5/18 B.
3/4 C. /2 D. 7/8 4、設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，則（ ） A. 2 B.
4 C.
D.
5、右面的程序框圖，如果輸入三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，要求輸出這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入下面四個(gè)選項(xiàng)中的（ ） A. c > x B.
x > c C.
c > b D.
b > c 6、已知，則使得都成立的取值范圍是（ ） A.（0，） B. （0，）
C. （0，） D. （0，） 7、=（ ） A.
B. C.
2 D. 8、平面向量，共線的充要條件是（ ） A. ，方向相同 B.
，兩向量中至少有一個(gè)為零向量 C. ， D.
存在不全為零的實(shí)數(shù)，， 9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方法共有（ ） A. 20種 B.
30種 C.
40種 D.
60種 10、由直線，x=2，曲線及x軸所圍圖形的面積是（ ） A. B.
C.
D.
11、已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，－1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ） A. （，－1） B.
（，1） C.
（1，2） D.
（1，－2） 12、某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a + b的最大值為（ ） A. B.
C.
4 D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。 13、已知向量，，且，則= ____________ 14、過雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F。過點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為______________ 15、一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，那么這個(gè)球的體積為
_________ 16、從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度（單位：mm），結(jié)果如下： 由以上數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了如下莖葉圖： 甲品種： 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品種： 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 甲 乙 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 根據(jù)以上莖葉圖，對甲乙兩品種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論： ①____________________________________________________________________________________ ②____________________________________________________________________________________ 三、解答題：本大題共6小題，滿分70分。解答須寫出文字說明，證明過程和演算步驟。 17、（本小題滿分12分）已知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，且，。 （1）求的通項(xiàng)；（2）求前n項(xiàng)和的最大值。 18、（本小題滿分12分）如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的對角線BD1上，∠PDA=60°。 （1）求DP與CC1所成角的大��；（2）求DP與平面AA1D1D所成角的大小。 19、（本小題滿分12分）A、B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2。根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為 X1 5% 10% X2 2% 8% 12% P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3 （1）在A、B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤，求方差DY1、DY2；（2）將x（0≤x≤100）萬元投資A項(xiàng)目，100－x萬元投資B項(xiàng)目，f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a2DX） 20、（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2。F2也是拋物線C2：的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且。 （1）求C1的方程；（2）平面上的點(diǎn)N滿足，直線l∥MN，且與C1交于A、B兩點(diǎn)，若?=0，求直線l的方程。 21、（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為 。（1）求的解析式；（2）證明：曲線的圖像是一個(gè)中心對稱圖形，并求其對稱中心；（3）證明：曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值。 請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號(hào)涂黑。 22、（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講 如圖，過圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線，切點(diǎn)為A，過A作直線AP垂直直線OM，垂足為P。 （1）證明：OM?OP = OA2； （2）N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直直線ON，且交圓O于B點(diǎn)。過B點(diǎn)的切線交直線ON于K。證明：∠OKM = 90°。 23、（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線C1：，曲線C2：。 （1）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （2）若把C1，C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都壓縮為原來的一半，分別得到曲線，。寫出，的參數(shù)方程。與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說明你的理由。 24、（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)。（1）作出函數(shù)的圖像；（2）解不等式。 2008年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試（海南、寧夏卷） 數(shù)學(xué)（理科） 第Ⅰ卷 A．1 B．2 C． D． 解：由圖象知函數(shù)的周期，所以 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 2．已知復(fù)數(shù)，則=（ ） A． B． C． D． 解：，，故選B 3．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（ ） 解：設(shè)頂角為C，因?yàn)�，由余弦定�?/p> 4．設(shè)等比數(shù)列的公比q=2，前n項(xiàng)和為Sn，則=（ ） A． B． C． D． 解： 5．右面的程序框圖，如果輸入三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，要求輸出這三 個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入下面四個(gè)選 項(xiàng)中的（ ） A． B． C． D． 解：變量的作用是保留3個(gè)數(shù)中的最大值，所以第二個(gè)條件結(jié)構(gòu)的判斷框內(nèi)語句為“”， 滿足“是”則交換兩個(gè)變量的數(shù)值后輸出的值結(jié)束程序，滿足“否”直接輸出的值結(jié)束程序。 8．平面向量a，b共線的充要條件是（ ） A．a(chǎn)，b方向相同 B．a(chǎn)，b兩向量中至少有一個(gè)為零向量 C．， D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，， 解：注意零向量和任意向量共線。 9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面．不同的安排方法共有（ ） A．20種 B．30種 C．40種 D．60種 解：分類計(jì)數(shù)：甲在星期一有種安排方法，甲在星期二有種安排方法， 甲在星期三有種安排方法，總共有種 10．由直線，x=2，曲線及x軸所圍圖形的面積為（ ） A． B． C． D． 解：如圖，面積 11．已知點(diǎn)P在拋物線上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ） A． B． C． D． 解：點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離，如圖 ,故最小值在三點(diǎn)共線時(shí)取得， 此時(shí)的縱坐標(biāo)都是，所以選A。（點(diǎn)坐標(biāo)為） 12．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為（ ） A． B． C． D． 解：結(jié)合長方體的對角線在三個(gè)面的投影來理解計(jì)算。如圖 設(shè)長方體的高寬高分別為，由題意得 ， ，，所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答． 13．已知向量，，且，則 ． 解：由題意 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分． 14．設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F．過點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為 ． 解：雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)一條漸近線方程為， 建立方程組，得交點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而 15．一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為 ． 解：令球的半徑為，六棱柱的底面邊長為，高為，顯然有，且 16．從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度（單位：mm），結(jié)果如下： 甲品種：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品種：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了如下莖葉圖 根據(jù)以上莖葉圖，對甲、乙兩品種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論： ① ；② ． 解：1．乙品種棉花的纖維平均長度大于甲品種棉花的纖維平均長度（或：乙品種棉花的纖維長度普遍大于甲品種棉花的纖維長度）． 2．甲品種棉花的纖維長度較乙品種棉花的纖維長度更分散．（或：乙品種棉花的纖維長度較甲品種棉花的纖維長度更集中（穩(wěn)定）．甲品種棉花的纖維長度的分散程度比乙品種棉花的纖維長度的分散程度更大）． 3．甲品種棉花的纖維長度的中位數(shù)為307mm，乙品種棉花的纖維長度的中位數(shù)為318mm． 4．乙品種棉花的纖維長度基本上是對稱的，而且大多集中在中間（均值附近）．甲品種棉花的纖維長度除一個(gè)特殊值（352）外，也大致對稱，其分布較均勻． 17．（本小題滿分12分） 已知是一個(gè)等差數(shù)列，且，． （Ⅰ）求的通項(xiàng)； （Ⅱ）求前n項(xiàng)和Sn的最大值． 解：（Ⅰ）設(shè)的公差為，由已知條件，，解出，． 所以． （Ⅱ）． 所以時(shí)，取到最大值． 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 18．（本小題滿分12分） 如圖，已知點(diǎn)P在正方體的對角線上，． （Ⅱ）求DP與平面所成角的大�。� 解：如圖，以為原點(diǎn)，為單位長建立空間直角坐標(biāo)系． 在平面中，延長交于． 設(shè)，由已知， 由 可得．解得， 所以．（Ⅰ）因?yàn)椋?/p> 所以．即與所成的角為． （Ⅱ）平面的一個(gè)法向量是． 因?yàn)椋?所以． 可得與平面所成的角為． 19．（本小題滿分12分） 兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2．根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為 X1 5％ 10％ 0.8 0.2 X2 2％ 8％ 12％ 0.2 0.5 0.3 （Ⅰ）在兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤，求方差DY1，DY2； （Ⅱ）將萬元投資A項(xiàng)目，萬元投資B項(xiàng)目，表示投資A項(xiàng)目所得利潤的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤的方差的和．求的最小值，并指出x為何值時(shí)，取到最小值．（注：） 解：（Ⅰ）由題設(shè)可知和的分布列分別為 Y1 5 10 0.8 0.2 Y2 2 8 12 0.2 0.5 0.3 ， ， ， ． （Ⅱ） ， 當(dāng)時(shí)，為最小值． 20．（本小題滿分12分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且｜MF2｜=． （Ⅰ）求C1的方程； （Ⅱ）平面上的點(diǎn)N滿足，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程． 20．解：（Ⅰ）由：知． 設(shè)，在上，因?yàn)�，所以，得，�?/p> 在上，且橢圓的半焦距，于是 消去并整理得 ， 解得（不合題意，舍去）． 故橢圓的方程為． （Ⅱ）由知四邊形是平行四邊形，其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)， 因?yàn)椋耘c的斜率相同， 故的斜率．設(shè)的方程為． 由 消去并化簡得 ． 設(shè)，，，． 因?yàn)�，所以�?/p> ． 所以．此時(shí)， 故所求直線的方程為，或． 21．（本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為y=3． （Ⅰ）求的解析式： （Ⅱ）證明：函數(shù)的圖像是一個(gè)中心對稱圖形，并求其對稱中心； （Ⅲ）證明：曲線上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）， 于是解得或 因，故． （Ⅱ）證明：已知函數(shù)，都是奇函數(shù)． 所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖像是以原點(diǎn)為中心的中心對稱圖形．而．可知，函數(shù)的圖像按向量平移，即得到函數(shù)的圖像，故函數(shù)的圖像是以點(diǎn)為中心的中心對稱圖形． （Ⅲ）證明：在曲線上任取一點(diǎn)． 由知，過此點(diǎn)的切線方程為 ． 令得，切線與直線交點(diǎn)為． 令得，切線與直線交點(diǎn)為． 直線與直線的交點(diǎn)為． 從而所圍三角形的面積為． 所以，所圍三角形的面積為定值． 請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號(hào)涂黑． 22．（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講 如圖，過圓外一點(diǎn)作它的一條切線，切點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線垂直直線，垂足為． （Ⅰ）證明：； 解：（Ⅰ）證明：因?yàn)槭菆A的切線，所以． 又因?yàn)椋谥�，由射影定理知�?/p> ． （Ⅱ）證明：因?yàn)槭菆A的切線，． 同（Ⅰ），有，又， 所以，即． 又， 所以，故． 23．（本小題滿分10分）選修4－4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線C1：（為參數(shù)），曲線C2：（t為參數(shù)）． （Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （Ⅱ）若把C1，C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都壓縮為原來的一半，分別得到曲線．寫出的參數(shù)方程．與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說明你的理由． 解：（Ⅰ）是圓，是直線． 的普通方程為，圓心，半徑． 的普通方程為． 因?yàn)閳A心到直線的距離為， 所以與只有一個(gè)公共點(diǎn)． （Ⅱ）壓縮后的參數(shù)方程分別為 ：（為參數(shù)）； ：（t為參數(shù)）． 化為普通方程為：：，：， 聯(lián)立消元得， 其判別式， 所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和與公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同． 已知函數(shù)． （Ⅰ）作出函數(shù)的圖像； （Ⅱ）解不等式． 解： （Ⅰ） 圖像如下： （Ⅱ）不等式，即， 由得． 由函數(shù)圖像可知，原不等式的解集為． 湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
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