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探究操作性問題

【典型例題】

，，

．

，即為的中點．

（2）①由（1）可知，，

，，

．

，

又，四邊形為平行四邊形．

②設，軸，則，則．

過作軸，垂足為，在中，

．

平行四邊形為菱形．

（3）設直線為，由，得，代入得：

  直線為．

設直線與拋物線的公共點為，代入直線關系式得：

，，解得．得公共點為．

所以直線與拋物線只有一個公共點．

【例2】（福建南平）

（1）①證法一：與均為等邊三角形，

，

且

，

即

．

②，，．

（2）①

②證法一：依題意，知和都是正邊形的內角，，，

，即．

．

，，?????? 13分

，

【例3】（內江市）

觀察計算

（1）；

（2）．

探索歸納

（1）①；②；

（2）．

①當，即時，，．；

②當，即時，，．；

③當，即時，，．．

綜上可知：當時，選方案二；

當時，選方案一或方案二；

當（缺不扣分）時，選方案一．

【例4】（浙江寧波）

（1）．    （2）相等，比值為．

（3）設，

在矩形中，，

，，，

，

．

同理．

，   ，    ．

，   ，解得．即．

（4），    ．

【學力訓練】

1、（山東聊城）（1）設正方形的邊長為cm，則

．

即．

解得（不合題意，舍去），．

剪去的正方形的邊長為1cm．

（注：通過觀察、驗證直接寫出正確結果給3分）

（2）有側面積最大的情況．

設正方形的邊長為cm，盒子的側面積為cm2，

則與的函數(shù)關系式為：

．

即．

改寫為．

當時，．

即當剪去的正方形的邊長為2.25cm時，長方體盒子的側面積

最大為40.5cm2．

（3）有側面積最大的情況．

設正方形的邊長為cm，盒子的側面積為cm2．

若按圖1所示的方法剪折，則與的函數(shù)關系式為：

．

即．

當時，．

若按圖2所示的方法剪折，則與的函數(shù)關系式為：

．

即．

當時，．

比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側面積最大，即當剪去的正方形的邊長為cm時，折成的有蓋長方體盒子的側面積最大，最大面積為cm2．

2、（山東棗莊）

（1）如圖所示，，，

∴．　　又，

∴． 

（2），∴∠D1FO=60°．

，∴．  

　又，，∴．

，∴．

又，∴．

在中，．

（3）點在內部． 

理由如下：設（或延長線）交于點P，則．

在中，，    

，即，∴點在內部．  

3、（江蘇鹽城）（1）①CF與BD位置關系是 垂 直、數(shù)量關系是相 等；

②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．

由正方形ADEF得  AD=AF ，∠DAF=90º．

∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ，  ∴∠DAB=∠FAC，

又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC  ， ∴CF=BD   　　　　

  ∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD

（2）畫圖正確　　　　　　　

當∠BCA=45º時，CF⊥BD（如圖�。�

  理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC=AG

可證：△GAD≌△CAF   ∴∠ACF=∠AGD=45º 

∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．   即CF⊥BD

（3）當具備∠BCA=45º時，

過點A作AQ⊥BC交BC的延長線于點Q，（如圖戊）

∵DE與CF交于點P時， ∴此時點D位于線段CQ上，

∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．設CD=x ，∴  DQ=4―x，

容易說明△AQD∽△DCP，∴ ，  ∴，

．

∵0＜x≤3   ∴當x=2時，CP有最大值1

4、（07麗水市）（1）∵，

        設正方形的邊長為，

        ∴，或（舍去）．

（2）．

    ．

（3）①當0≤＜4時，重疊部分為三角形，如圖①．

       可得△∽△，

      ∴，=．

      ∴．

 

   ②當4≤＜6時，重疊部分為直角梯形，如圖②．

     ．  

   ③當6≤＜8時，重疊部分為五邊形，如圖③．

    可得，，．

     =．

 

 ④當8≤＜10時，重疊部分為五邊形，如圖④．

  =．

⑤當10≤≤14時，重疊部分為矩形，如圖⑤．

．

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