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“他山之石可以攻玉”

【編者的話】           

新課改后的中考數(shù)學(xué)壓軸題已從傳統(tǒng)的考察知識點(diǎn)多、難度大、復(fù)雜程度高的綜合題型，逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動態(tài)幾何、動手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方向發(fā)展。這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等。從數(shù)學(xué)思想的層面上講：（1）運(yùn)動觀點(diǎn)；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等。但縱觀全國各省、市的中考數(shù)學(xué)試題，它的壓軸題均是借鑒于上年各地的中考試題演變而來。所以，研究上年各地的中考試題，就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動向，它有利于我們教師在教學(xué)中研究對策，把握方向。只的這樣，學(xué)生能力得以的培養(yǎng)，解題方法、技巧得以掌握，學(xué)生才能順利地解答未來中考的壓軸題。

2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座一

幾何與函數(shù)問題

【知識縱橫】

      客觀世界中事物總是相互關(guān)聯(lián)、相互制約的。幾何與函數(shù)問題就是從量和形的側(cè)面去描述客觀世界的運(yùn)動變化、相互聯(lián)系和相互制約性。函數(shù)與幾何的綜合題，對考查學(xué)生的雙基和探索能力有一定的代表性，通過幾何圖形的兩個(gè)變量之間的關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步研究幾何的性質(zhì)，溝通函數(shù)與幾何的有機(jī)聯(lián)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法。

【典型例題】

【例1】（上海市）已知，，（如圖）．是射線上的動點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），是線段的中點(diǎn)．

（1）設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（2）如果以線段為直徑的圓與以線段為直徑的圓外切，求線段的長；

（3）聯(lián)結(jié)，交線段于點(diǎn)，如果以為頂點(diǎn)的三角形與相似，求

線段的長．

 

 

 

 

【思路點(diǎn)撥】（1）取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)；（2）先求出 DE; （3）分二種情況討論。

 

 

 

 

 

【例2】（山東青島）已知：如圖（1），在中，，，，點(diǎn)由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；點(diǎn)由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；連接．若設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為（），解答下列問題：

（1）當(dāng)為何值時(shí)，？

（2）設(shè)的面積為（），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻，使線段恰好把的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，說明理由；

（4）如圖（2），連接，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在某一時(shí)刻，使四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長；若不存在，說明理由．

 

 

 

 

 

 

    
 
    
  
  
      
   
      
    
    
      
    
       
       
      【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)BP為t，則AQ = 2t，證△APQ ∽△ABC；（2）過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．
      （3）構(gòu)建方程模型，求t；（4）過點(diǎn)P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四邊形PQP ′ C是菱形，那么構(gòu)建方程模型后，能找到對應(yīng)t的值。
       
       
       
       
       
       
       
       
       
      【例3】（山東德州）如圖（1）,在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點(diǎn)（不與A，B重合），過M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令A(yù)M＝x．   
      （1）用含x的代數(shù)式表示△ＭNP的面積S；     

      （2）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與直線BC相切？       
      （3）在動點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？
      


      
 
      
  
  
  
  
  
  
 
      
 
      
  
  
  
 
      
 
      
  
  
  
  
 
      
 
      
  
 
      
 
      
  
 
      

      

 
       
       
       
       
       
             圖（1）                    
圖（2）              
圖（3）
       
      【思路點(diǎn)撥】（1）證△AMN ∽ △ABC；（2）設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，OD，先求出OD（用x的代數(shù)式表示），再過M點(diǎn)作MQ⊥BC 于Q，證△BMQ∽△BCA；（3）先找到圖形孌化的分界點(diǎn)，＝2。然后 分兩種情況討論求的最大值： ① 當(dāng)0＜≤2時(shí)， ② 當(dāng)2＜＜4時(shí)。
       
       
       
       
      【學(xué)力訓(xùn)練】
      1、（山東威海）  如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上運(yùn)動，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．
      （1）求梯形ABCD的面積；  
      （2）求四邊形MEFN面積的最大值． 
      （3）試判斷四邊形MEFN能否為正方形，若能，
      求出正方形MEFN的面積；若不能，請說明理由．   
       
       
       
      2、（浙江溫州市）如圖，在中，，，，分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)，．
      （1）求點(diǎn)到的距離的長；
      （2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
      （3）是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，
      請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．
       
       
      3、（湖南郴州）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM=4，E為 BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)（不與B、C重合）．過E作直線AB的垂線，垂足為F． FE與DC的延長線相交于點(diǎn)G，連結(jié)DE，DF．．
      （1）
求證：ΔBEF ∽ΔCEG．
      （2） 當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動時(shí)，△BEF和
      △CEG的周長之間有什么關(guān)系？并說明你的理由．
      （3）設(shè)BE＝x，△DEF的面積為 y，請你求
      出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何
      值時(shí),y有最大值，最大值是多少？ 
       
       
      4、（浙江臺州）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），過點(diǎn)作直線，交邊于點(diǎn)，再把沿著動直線對折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，設(shè)的長度為，與矩形重疊部分的面積為．
      （1）求的度數(shù)；
      （2）當(dāng)取何值時(shí)，點(diǎn)落在矩形的邊上？
      （3）①求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
      ②當(dāng)取何值時(shí)，重疊部分的面積等于矩形面積的？