高三數(shù)學(xué)專題講座（復(fù)數(shù)）2001年5月10日
1、（2000年）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)
對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是
（A）
�。˙）
（C）
（D）
2、（2000年春季）復(fù)數(shù)
則
在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3、（2000年春季）設(shè)復(fù)數(shù)z1=2sin
+icos
在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量
，將按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
后得到向量
，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z2=r(cosj+isinj),則tgj=
(A)
(B)
(C)
(D)
4、（2000年上海）設(shè)復(fù)數(shù)
滿足
,且
在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上,
,求和
的值.
5、（1999年）設(shè)復(fù)數(shù)
，求函數(shù)
的最大值及對(duì)應(yīng)的的值。
6、（1998年）復(fù)數(shù)?i的一個(gè)立方根是i，它的另外兩個(gè)立方根是
（A）
（B）
（C）
（D）
7、（1997年）已知復(fù)數(shù)
，
，復(fù)數(shù)
、
在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P、Q。證明△OPQ是等腰直角三角形（其中O為原點(diǎn)）
8、（1996年）復(fù)數(shù)
等于
(A)、1+
i (B)、-1+i (C)、1-i (D)-1-i
9、（1995年）在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)按照逆時(shí)針方向依次為Z1, Z2 ,Z3
,O（其中O是原點(diǎn)），已知Z2對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)Z2=1+i。求Z1和Z2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。
10、（1994年）如果復(fù)數(shù)z滿足 |z+ i |+ | z-i |=2，那么 | z+i+1 |的最小值是
（A）1 （B）
（C）2 （D）
11、（1994年）已知z=1+i,(1)設(shè)w=
,求w的三角形式；
(2)如果
，求實(shí)數(shù)a、b的值。
12、（1993年）設(shè)復(fù)數(shù)z=cosq+isinq (0<q<p)，w=
，并且|w|=
，argw<
， 求 q
13、（2001年春季）已知
．
（Ⅰ）證明
；
（Ⅱ）設(shè)
的輻角為
，求
的值．
14、（2000年上海）復(fù)數(shù)
15、（2000年上海）已知復(fù)數(shù)
均為實(shí)數(shù)，
為虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)
。
（1）試求
的值，并分別寫出
和
用
、
表示的關(guān)系式；
（2）將(、)作為點(diǎn)
的坐標(biāo)，(、)作為點(diǎn)
的坐標(biāo)，上述關(guān)系可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)變換：它將平面上的點(diǎn)變到這一平面上的點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)在直線
上移動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)的軌跡方程；
（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由。
1、B
2、D
3、A
4、［解法一］設(shè)
而
又∵
在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上,
∴
,得
.
∴
. 即
;
,
當(dāng)
時(shí),有
,即
,得
.
當(dāng)
時(shí),同理可得
.
［解法二］
,∴
,
得
或
得
.
當(dāng)時(shí),有,即,得.
當(dāng)時(shí),同理可得.
5、解:由
由
得
故
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí),即
時(shí),上式取等號(hào).
所以當(dāng)
時(shí),函數(shù)
取最大值
6、D
7、解：因?yàn)?sub>
因?yàn)?sub>
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .
由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形。
8、B
9、解：設(shè)Z1，Z3對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為
依題設(shè)得
10、A
11、（1）
（2）
12、
，
或
13、解：（Ⅰ）由 
，
得
． ……4分
因?yàn)?nbsp; 
，
，
所以 
． ……6分
（Ⅱ）因?yàn)?sub>
，
所以 
，而
，所以
，
，同理
，
．
由（Ⅰ）知 
，
即 
，
所以 
的實(shí)部為
， ……8分
而
的輻角為
時(shí)，復(fù)數(shù)的實(shí)部為
，
所以 
……12分
14、C
15、[解]（1）由題設(shè)，
，
于是由
，
…（3分）
因此由
，
得關(guān)系式
…（5分）
[解]（2）設(shè)點(diǎn)
在直線
上，則其經(jīng)變換后的點(diǎn)
滿足
，
…（7分）
消去
，得
，
故點(diǎn)
的軌跡方程為
…（10分）
[解]（3）假設(shè)存在這樣的直線，∵平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件，
∴所求直線可設(shè)為
，
…（12分）
[解法一]∵該直線上的任一點(diǎn)，其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)
仍在該直線上，
∴
，
即
，
當(dāng)
時(shí)，方程組
無(wú)解，
故這樣的直線不存在。 …（16分）
當(dāng)
時(shí)，由
得
，
解得
或
，
故這樣的直線存在，其方程為
或
，
…（18分）
[解法二]取直線上一點(diǎn)
，其經(jīng)變換后的點(diǎn)
仍在該直線上，
∴
，
得
，
…（14分）
故所求直線為
，取直線上一點(diǎn)
，其經(jīng)變換后得到的點(diǎn)
仍在該直線上。
∴
，
…（16分）
即，得或，
故這樣的直線存在，其方程為或，
…（18分）
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