平面解析幾何測(cè)試題(文科) 2009-4
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
(1)“”是“直線x+y=0和直線
互相垂直”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
(2)設(shè)A、B是軸上的兩點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,且
,若直線PA的方程為
,則直線PB 的方程是 ( )
A. B.
C.
D.
(3)直線上的點(diǎn)到圓C:
的最近距離為( )
A. 1 B. C.
-1 D. 2
-1
(4)直線與圓
相切,則實(shí)數(shù)
等于( )
A.或
B.
或
C.
或
D.
或
(5)若圓的過(guò)點(diǎn)
的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為
和
,則四邊形
的面積為( )
A. B.
C.
D.
(6)設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在
軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26,且離心率為
;曲線
上的點(diǎn)到橢圓
的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8,則曲線
的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A. B.
C.
D.
(7)雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則
( )
A.
B.
C.
D.
(8).拋物線的準(zhǔn)線方程是 ( )
A. B.
C.
D.
(9)若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓
的右焦點(diǎn)重合,則
的值為( )
A.
B.
C.
D.
(10)若點(diǎn)P在拋物線上,則該點(diǎn)到點(diǎn)
的距離與到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)的坐標(biāo)為( )
A. B.
C.
D.
(11).我國(guó)于07年10月24日成功發(fā)射嫦娥一號(hào)衛(wèi)星,并經(jīng)四次變軌飛向月球.嫦娥一號(hào)繞地球運(yùn)行的軌跡是以地球的地心為焦點(diǎn)的橢圓(地球半徑忽略不計(jì)).若第一次變軌前衛(wèi)星的近地點(diǎn)到地心的距離為,遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離為
,第二次變軌后兩距離分別為2
、2
(近地點(diǎn)是指衛(wèi)星到地面的最近距離,遠(yuǎn)地點(diǎn)是最遠(yuǎn)距離),則第一次變軌前的橢圓的離心率比第二次變軌后的橢圓的離心率 ( )
A.變大 B.變小 C.不變 D.以上都有可能
(12)已知橢圓,長(zhǎng)軸在
軸上. 若焦距為
,則
等于 ( )
A..
B.
.
C.
.
D.
.
二、填空題:本大題共4小題, 每小題4分,共16分.
(13)已知實(shí)數(shù),直線
過(guò)點(diǎn)
,且垂直于向量
,若直線
與圓
相交,則實(shí)數(shù)
的取值范圍是________________ .
(14)已知為橢圓
的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)
的直線交橢圓于
兩點(diǎn)
若,則
.
(15)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線關(guān)于
軸對(duì)稱,頂點(diǎn)在原點(diǎn)
,且過(guò)點(diǎn)P(2,4),則該拋物線的方程是
.
(16)已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離為6,則該雙曲線的離心率為 .
(17)(本小題滿分12分)
三、解答題:本大題共6小題. 共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
已知圓C:,直線
:
.
(I) 當(dāng)a為何值時(shí),直線與圓C相切;
(Ⅱ) 當(dāng)直線與圓C相交于A、B兩點(diǎn),且
時(shí),求直線
的方程.
(18)(本小題滿分12分)
已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓
及其內(nèi)
部所覆蓋.
(Ⅰ)試求圓的方程;
(Ⅱ)若斜率為1的直線與圓C交于不同兩點(diǎn)
,且滿足
,求直線
的方程.
(19)(本小題滿分12分)
在平面直角坐標(biāo)系中,直線
與拋物線
=2
相交于A、B兩點(diǎn).
求證:“若直線過(guò)點(diǎn)T(3,0),則
=3”是真命題.
(20)(本小題滿分12分)
已知直線相交于A、B兩點(diǎn),
是線段AB上的一點(diǎn),
,且
點(diǎn)在直線
上.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓
上,求橢圓的方程.
(21)(本小題滿分12分)
在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)點(diǎn)
且斜率為
的直線
與橢圓
有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
和
.
(I)求的取值范圍;
(II)設(shè)橢圓與軸正半軸、
軸正半軸的交點(diǎn)分別為
,問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)
,使得向量
與
共線?給出判斷并說(shuō)明理由.
(22)(本小題滿分14分)
如圖,已知
,直線
,
為平面上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
作
的垂線,垂足為點(diǎn)
,且
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡
的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡
于
兩點(diǎn),交直線
于點(diǎn)
.
(1)已知,
,求
的值;
(2)求的最小值.
一、選擇題:
CADCB AABBD CD
二、填空題
(13); (14)8; (15)
; (16)3.
三、解答題
(17)解:將圓C的方程配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為
,
則此圓的圓心為(0 , 4),半徑為2.
(Ⅰ) 若直線與圓C相切,則有
. 解得
. ………………6分
(Ⅱ) 解:過(guò)圓心C作CD⊥AB,則根據(jù)題意和圓的性質(zhì),得
解得
.
∴直線的方程是
和
. ………………12分
(18)解:(Ⅰ)由題意知此平面區(qū)域表示的是以構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,且△
是直角三角形, 所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,故圓心是(2,1),半徑是
,
所以圓的方程是
. ………………6分
(Ⅱ)設(shè)直線的方程是:
.
因?yàn)?sub>,所以圓心
到直線
的距離是
, 即
.
解得:. ………………………………11分
所以直線的方程是
. ………………12分
(19)解:設(shè)過(guò)點(diǎn)T(3,0)的直線交拋物線
于點(diǎn)A
、B
.
(Ⅰ)當(dāng)直線的鈄率不存在時(shí),直線
的方程為
,
此時(shí), 直線與拋物線相交于點(diǎn)A(3,
)().B(3,-
),∴
=3. …….............4分
(Ⅱ)當(dāng)直線的鈄率存在時(shí),設(shè)直線
的方程為
,
其中,由
得
.
…………………….….6分
又 ∵ , ∴
,
………………………………….10分
綜上所述,命題“若直線過(guò)點(diǎn)T(3,0),則
=3” 是真命題. ………………….12分
(20)解:(Ⅰ)由知
是
的中點(diǎn),
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
由.
,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
.
…………………………4分
又點(diǎn)在直線
上,
.
,
………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,不妨設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為
,
設(shè)關(guān)于直線
上的對(duì)稱點(diǎn)為
,
則有. ………………10分
由已知.
,∴所求的橢圓的方程為
. ………………12分
(21)解:(Ⅰ)由已知條件,直線的方程為
,
代入橢圓方程得.
整理得 、 ……………………………………3分
直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
和
等價(jià)于
,
解得或
.即
的取值范圍為
.………………6分
(Ⅱ)設(shè),則
,
由方程①,. ②
又. 、 …………………………………9分
而.
所以與
共線等價(jià)于
,
將②③代入上式,解得.
由(Ⅰ)知或
,故沒(méi)有符合題意的常數(shù)
.………………12分
(22)解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)
,則
,由
得:
,化簡(jiǎn)得
.……4分
(Ⅱ)(1)設(shè)直線的方程為:
.
設(shè),
,又
聯(lián)立方程組,消去
得:
,
,
……………………………………………7分
由,
得:
,
,整理得:
,
,
.……10分
(2)解:
.
當(dāng)且僅當(dāng),即
時(shí)等號(hào)成立,所以
最小值為
. ……14分
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