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專題13 三角 平面向量 復數(shù)

一 能力培養(yǎng)

1,數(shù)形結(jié)合思想       2,換元法       3,配方法       4,運算能力      5,反思能力

二 問題探討

問題1設向量,,

求證:.

問題2設,其中向量,,

(I)若且,求;       (II)若函數(shù)的圖象

按向量平移后得到函數(shù)的圖象,求實數(shù)的值.

問題3(1)當,函數(shù)的最大值是        ,最小值是         .

      (2)函數(shù)的最大值是                 .

      (3)當函數(shù)取得最小值時,的集合是          .

      (4)函數(shù)的值域是                        .

問題4已知中,分別是角的對邊,且,=

,求角A.

三 習題探討

選擇題

1在復平面內(nèi),復數(shù)對應的向量為,復數(shù)對應的向量為,

那么向量對應的復數(shù)是

A,1              B,             C,            D,

2已知是第二象限角,其終邊上一點P(),且,則=

A,          B,             C,            D,

3函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是

A,            B,              C,              D,

4已知向量,向量,向量,則向量

與向量的夾角的取值范圍是

A,         B,          C,        D,

5已知,,且與的夾角為鈍角,則的取值范圍是

A,        B,           C,         D,

6若是三角形的最小內(nèi)角,則函數(shù)的值域是

A,       B,          C,        D,

填空題

7已知,則=           .

8復數(shù),,則在復平面內(nèi)的對應點位于第     象限.

9若,則=           .

10與向量和的夾角相等,且長度為的向量               .

11在復數(shù)集C內(nèi),方程的解為                     .

解答題

12若,求函數(shù)的最小值,并求相應的的值.

13設函數(shù),,若當時,

恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

14設,且,復數(shù)滿足,求的最大值與最小值勤.

15已知向量,,且

(I)求及;         (II)求函數(shù)的最小值.

16設平面向量,.若存在實數(shù)和角,

使向量,,且.

(I)求函數(shù)的關(guān)系式;  (II)令,求函數(shù)的極值.

問題1證明:由,且

得=   ①

在①中以代換得=.

即.

溫馨提示:向量是一種很好用的工具.運用好它,可簡捷地解決一些三角,平幾,立幾,解幾等問題.

問題2解:(I)可得

由=1,得

又,得,有=,解得.

(II)函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù),

即的圖象.也就是=的圖象.

而,有,.

問題3解:(1)

而,有,

當,即時,;當,即時,.

(2),令,則,有

,得

令,有,

①當時,,為增函數(shù);②當時,,為減函數(shù).

=,而,

于是的最大值是.

(3)

當,即時,.

(4)可得,有

得,有,

得,又,于是有的值域是.

問題4解:由已知得,即,又

得,.

又得由余弦定理.

得,.

由正弦定理得,有.

又,得為最大角.

又,有,于是.

所以得.

習題:1得,,選D.

2 ,又,得或(舍去),

有,,選A.

3它的對稱軸為:,即,有,選A.

4(數(shù)形結(jié)合)由,知點A在以

(2,2)為圓心,為半徑的圓周上(如圖),過原點O作

圓C的切線,為切點,由,

知,有,

過點O作另一切線,為切點,則,選D.

5由,,設與的夾角為,則,

有,即,得,有,選A.

6由,令而,得.

又,得,

得,有,選D.

7顯然且,有,

當時,,有,于是,得,則

得到,

當時,同理可得.

8 ,它對應的點位于第一象限.

9由,得,有,即.

則,原式=.

10設,則,.

設與,的夾角分別為,則,

由,得=①;由=,得.②

由①,②得, ,,于是或

11設,,代入原方程整理得

有,解得或,所以或.

12解:

令,得

由,得,有,.

于是當,即,得時,.

13解:由,知是奇函數(shù),

而

得在R上為增函數(shù),則有

,令有

,恒成立.①

將①轉(zhuǎn)化為:,

(1)當時,;

(2)當時,,由函數(shù)在上遞減,知

當時,,于是得.

綜(1),(2)所述,知.

14解:設,由得,

得

由,得,從而,

設在復平面上的對應點分別為,由條件知W為

復平面單位圓上的點,的幾何意義為單位圓上的點W到點Z的距離,所以

的最小值為;最大值為.

15解(I),

,得

().

(II)

當且僅當時,.

16解:(I)由,,得

=,即,得

.

(II)由,得

求導得,令,得,

當,,為增函數(shù);當時,,為減函數(shù);

當時,,為增函數(shù).

所以當,即時,有極大值;當,即時,有極小

值.