廣東省汕頭市東里中學(xué)2008―2009年第二學(xué)期第一次考試高三數(shù)學(xué)（理科）
第一部分 選擇題（共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)集合A=
，則
為
A．
B．
C．
D．
2．兩個(gè)圓
的公切線有且僅有：
（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條
3．如圖是一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖，已知主視圖、左視圖所對應(yīng)的三角形皆為邊長為2的正三角形，俯視圖對應(yīng)的四邊形為正方形，那么這個(gè)幾何體的表面積為：
A．
B．
C．
D．
4．曲線
關(guān)于直線
對稱的曲線方程是：
A. 
B. 
C. 
D. 
5．已知向量
的夾角為
，且
在
中，
，則角
的值是：
A. 
B.
C. 
D. 
6．8．一個(gè)算法的程序框圖如下圖所示，若該程序輸出的結(jié)果為
，則判斷框中應(yīng)填入的條件是
A. 
B.
C. 
D. 
7．定義在
上的函數(shù)
滿足
，則“為偶函數(shù)”是“2為函數(shù)的一個(gè)周期”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分有不必要
8．已知雙曲線
的左，右焦點(diǎn)分別為
,點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且
,則此雙曲線的離心率e的最大值為
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分 非選擇題（共110分）
二、填空題：本大題共7小題，其中9～12題是必做題,13～15題是選做題. 每小題5分，滿分30分.
9．已知等差數(shù)列
的前三項(xiàng)依次為1，
，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式是
=__________．
10．若復(fù)數(shù)
（
，
為虛數(shù)單位）是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)
的值為
11．在約束條件
下，目標(biāo)函數(shù)
的最大值為_________.
12．如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且
均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為
▲選做題:在下面三道小題中選做兩題,三題都選的只計(jì)算前兩題的得分.
13．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 已知圓的極坐標(biāo)方程為
，則該圓的圓心到直線
的距離是
.
14．（不等式選講選做題）已知函數(shù)
那么不等式
的解集為
.
15．（幾何證明選講選做題） 如圖：PA與圓O相切于A，
PCB為圓O的割線，并且不過圓心O，已知
∠BPA=，
PA=
，PC=1，則圓O的半徑等于
．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推證過程.
16．（本小題滿分12分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知a+b=5，c =
，且
(1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面積.
17．（本小題共14分）如圖，矩形
的兩條對角線相交于點(diǎn)
，
邊所在直線的方程為
點(diǎn)
在
邊所在直線上．
18.（本小題滿分12分）
四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
1）求證AB⊥面VAD；
2）求面VAD與面VDB所成的二面角的大�。�
19．（本小題滿分12分）設(shè)A、B是雙曲線
上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，2）是線段AB的中點(diǎn)．
（I）求直線AB的方程
（II）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？
20．（本小題滿分12分）
已知
是函數(shù)
的一個(gè)極值點(diǎn),其中
.
（Ⅰ）求m與n的關(guān)系表達(dá)式;
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)
時(shí),函數(shù)
的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍
21．(本小題滿分14分) 已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
（1）求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)3nbn＝n(3n－an)，且|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m對于n∈N＊恒成立，求m的取值范圍．
東里中學(xué)2008―2009第二學(xué)期第一次考試
數(shù)學(xué)答題卡(理科)
注意事項(xiàng)：⒈ 答題卷共4頁，用鋼筆或黑色（藍(lán)色）簽字筆直接答在試題卷中。
⒉ 答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。
題號
一
二
三
總分
16
17
18
19
20
21
分?jǐn)?shù)
1 2 3 4
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
5 6 7 8
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把最簡答案填在題中橫線上。
9．______ 10.____ 11. ________ 12.
三選二：13.__ 14. 15.
17（本小題滿分14分）
三、解答題：6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程演算步驟。
18（本小題滿分12分）
19（本小題滿分14分）
20（本小題滿分14分）
21（本小題滿分14分）
汕頭市東里中學(xué)2008―2009年第二學(xué)期第一次考試
二、填空題：
9． _
_ 10． -6 11．2 12．
13．
14． 
15．7
解析：
由圓的性質(zhì)PA
=PC?PB，得，PB=12，連接OA并反向延長交圓于點(diǎn)E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,DB=8,J記圓的半徑為R,由于ED?DA=CD?DB因此，(２R－２) ?2=3?8,解得R=7
三、解答題：
16． (1) 解：∵A+B+C=180° 由
…………1分
∴
………………3分
整理，得
…………4分 解 得：
……5分
∵
∴C=60° ………………6分
（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab …………7分
∴
………………8分 由條件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分
……10分∴
…………12分
17．解：（I）因?yàn)?sub>邊所在直線的方程為，且與垂直，
所以直線的斜率為
．……（2分）又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以邊所在直線的方程為
．即
．…………（4分）
（II）由
解得點(diǎn)的坐標(biāo)為
，…………（6分）
因?yàn)榫匦?sub>兩條對角線的交點(diǎn)為．所以
為矩形外接圓的圓心．
又半徑
．矩形外接圓的方程為
．……（9分）
（III）因?yàn)閯訄A
過點(diǎn)
，所以
是該圓的半徑，又因?yàn)閯訄A與圓外切，
所以
，即
．………………（11分）
故點(diǎn)的軌跡是以
為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為
的雙曲線的左支．
因?yàn)閷?shí)半軸長
，半焦距
．所以虛半軸長
．
從而動圓的圓心的軌跡方程為
．………………（14分）
18．證法一：（1）由于面VAD是正三角形，設(shè)AD的中點(diǎn)為E，則VE⊥AD，…………（1分）
而面VAD⊥底面ABCD，而面VAD
底面ABCD
平面
，則VE⊥AB…………（4分）
ABCD是正方形，則AB⊥AD，
故AB⊥面VAD……（6分）
證明二：（Ⅰ）作AD的中點(diǎn)O，則VO⊥底面ABCD．…………1分
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長為
，………2分
則A（
，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，
），
∴
……3分
由
…………4分
……5分
又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD…………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
是面VAD的法向量……………………7分
設(shè)
是面VDB的法向量，則
……9分
∴
，……………11分
又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為
……12分
19．解：（I）依題意，可設(shè)直線AB的方程為 y=k(x－1)＋2，
代入 
，整理得
①
記A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1，x2則是方程①的兩個(gè)不同的根，所以2－k2≠0，且
，
由N(1，2)是AB的中點(diǎn)得
，
∴ k(2－k)=2－k2，
解得k=1，所以直線AB的方程為
y=x＋1
（II）將k=1代入方程①得x2－2x－3=0
解出 x1=－1，x2=3
由 y=x＋1得 y1=0，y2=4。
即A、B的坐標(biāo)分別為(－1，0)和(3，4)。
由CD垂直平分AB，得直線CD的方程為
y=－(x－1)＋2，
即 y=3－x。
代入雙曲線方程，整理得 x2＋6x－11=0。 ②
記C(x3，y3)，D(x4，y4)，以及CD的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x3，x4是方程②的兩個(gè)根。所以x3＋x4=－6，x3x4=－11。
從而 
∴ 
又 
即A、B、C、D四點(diǎn)到點(diǎn)M的距離相等，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓。
20．
（Ⅰ）解：
.
因?yàn)?sub>是的一個(gè)極值點(diǎn),所以
,即
.
所以
（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知
當(dāng)時(shí),有
,當(dāng)
變化時(shí)與
的變化如下表:
1
<0
0
>0
0
<0
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
由上表知,當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增, 在單調(diào)遞減
（Ⅲ）解法一:由已知,得
,即
.
.
.
即
.
（*）
設(shè)
,其函數(shù)圖象的開口向上.
由題意(*)式恒成立, 
又.
即
的取值范圍是
解法二：由已知,得，即
，
. 
.
(*)
時(shí). (*)式化為
怛成立.
.
時(shí)
.
(*)式化為
．
令
,則
,記
,
則
在區(qū)間
是單調(diào)增函數(shù)
．
由(*)式恒成立,必有
又．
．
綜上、知
21．(本小題滿分14分) 已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
（1）求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)3nbn＝n(3n－an)，且|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m對于n∈N＊恒成立，
求m的取值范圍．
20．（本小題滿分14分）
（1）由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2)
∵a1＝5，a2＝5 ∴a2＋
故數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列………………5分
�。�2）由（1）得an＋1＋2an＝5?3n
由待定系數(shù)法可得(an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)
即an－3n＝2(－2)n－1
故an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n…………………………………………10分
（3）由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－)n
令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n
Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1
…………12分
得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1
＝－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1
∴ Sn＝6[1－()n]－3n()n+1＜6
要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m對于n∈N＊恒成立
只須m≥6………………………………………………………14分
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