Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（０，１）上單調(diào)遞減；

函數(shù)在（１，＋∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減； 

函數(shù)在上單調(diào)遞增；

函數(shù)上單調(diào)遞減，

（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042422504048473755/SYS201304242251531878274455_DA.files/image008.png">

所以

令

（1）當(dāng)

所以，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞

（2）當(dāng)

即，解得

①當(dāng)時(shí)，恒成立，

此時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

②當(dāng)

時(shí)，單調(diào)遞減；

時(shí)，單調(diào)遞增；

，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

③當(dāng)時(shí)，由于

時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（０，１）上單調(diào)遞減；

函數(shù)在（１，＋∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減； 

函數(shù)在上單調(diào)遞增；

函數(shù)上單調(diào)遞減，

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042422504048473755/SYS201304242251531878274455_DA.files/image033.png">，由（Ⅰ）知，

，當(dāng)，

函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，

函數(shù)單調(diào)遞增，所以在（0，2）上的最小值為

由于“對(duì)任意，存在，使”等價(jià)于

“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）

又，所以

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042422504048473755/SYS201304242251531878274455_DA.files/image045.png">，此時(shí)與（*）矛盾；

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042422504048473755/SYS201304242251531878274455_DA.files/image047.png">，同樣與（*）矛盾；

③當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042422504048473755/SYS201304242251531878274455_DA.files/image049.png">

解不等式，可得

綜上，的取值范圍是

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，恒成立問題，往往通過“分離參數(shù)”，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值。涉及對(duì)數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。