Question

【題目】如圖，四棱錐O﹣ABCD的底面是邊長為1的菱形，OA＝2，∠ABC＝60°，OA⊥平面ABCD，M、N分別是OA、BC的中點(diǎn).

（1）求證：直線MN∥平面OCD；

（2）求點(diǎn)M到平面OCD的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取OD的中點(diǎn)P，連接PC、PM，由三角形的中位線定理可得PMNC是平行四邊形，得MN∥PC，再由直線與平面平行的判定可得直線MN∥平面OCD；

（2）連接ON、ND，設(shè)點(diǎn)M到平面OCD的距離為d，可得點(diǎn)N到平面OCD的距離為d，然后利用等體積法求點(diǎn)M到平面OCD的距離.

（1）證明：取OD的中點(diǎn)P，連接PC、PM，

∵M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，∴PM∥AD，且，NC∥AD，且，

∴PM∥NC，且PM＝NC，則PMNC是平行四邊形，得MN∥PC，

∵PC平面OCD，MN平面OCD，

∴直線MN∥平面OCD；

（2）解：連接ON、ND，設(shè)點(diǎn)M到平面OCD的距離為d，

由（1）得，點(diǎn)N到平面OCD的距離為d，

設(shè)三棱錐O﹣CDN的體積為V，則，

依題意，，

∵AC＝AD＝CD＝1，∴，則.

由，得點(diǎn)M到平面OCD的距離.