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已知函數(shù)，它的一個(gè)極值點(diǎn)是．

(Ⅰ) 求的值及的值域；

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)，試求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

 

【答案】

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092200591407546744/SYS201309220100138969947134_DA.files/image003.png">；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092200591407546744/SYS201309220100138969947134_DA.files/image005.png">；(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)．

【解析】

試題分析：(Ⅰ)因?yàn)樗囊粋�(gè)極值點(diǎn)是，所以有，可求出的值，從而求出值域；(Ⅱ) 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．

試題解析：（1），因?yàn)樗囊粋�(gè)極值點(diǎn)是，所以有，可得或．當(dāng)時(shí)，分析可知：在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；由此可求得，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092200591407546744/SYS201309220100138969947134_DA.files/image003.png">；當(dāng)時(shí)，分析可知：在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；由此可求得，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092200591407546744/SYS201309220100138969947134_DA.files/image005.png">．

(Ⅱ)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092200591407546744/SYS201309220100138969947134_DA.files/image016.png">，所以，所以．設(shè)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即有．所以．所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．

（�。┊�(dāng)時(shí)，，，，

而，結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，此時(shí)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)．

(ⅱ)當(dāng)時(shí)，，由于，所以，此時(shí)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，即函數(shù)沒有零點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)．

考點(diǎn)：1、函數(shù)極值點(diǎn)，2、利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，3、函數(shù)的圖像與性質(zhì)．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、已知函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，給出下列結(jié)論：
①若存在常數(shù)x0，使f′（x）=0，則函數(shù)f（x）必在x0處取得極值；
②若函數(shù)f（x）在x0處取得極值，則函數(shù)f（x）在x0處必可導(dǎo)；
③若函數(shù)f（x）在R上處處可導(dǎo)，則它有極小值就是它在R上的最小值；
④若對(duì)于任意x≠x0都有f（x）＞f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最小值；
⑤若對(duì)于任意x＜x0有f′（x）＞0，對(duì)于任意x＞x0有f′（x）＜0，則f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)最大值；
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
④⑤
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個(gè)屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點(diǎn)O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
②設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關(guān)于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

已知函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，給出下列結(jié)論：
①若存在常數(shù)x0，使f′（x）=0，則函數(shù)f（x）必在x0處取得極值；
②若函數(shù)f（x）在x0處取得極值，則函數(shù)f（x）在x0處必可導(dǎo)；
③若函數(shù)f（x）在R上處處可導(dǎo)，則它有極小值就是它在R上的最小值；
④若對(duì)于任意x≠x0都有f（x）＞f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最小值；
⑤若對(duì)于任意x＜x0有f′（x）＞0，對(duì)于任意x＞x0有f′（x）＜0，則f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)最大值；
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，給出下列結(jié)論：
①若存在常數(shù)x0，使f′（x）=0，則函數(shù)f（x）必在x0處取得極值；
②若函數(shù)f（x）在x0處取得極值，則函數(shù)f（x）在x0處必可導(dǎo)；
③若函數(shù)f（x）在R上處處可導(dǎo)，則它有極小值就是它在R上的最小值；
④若對(duì)于任意x≠x0都有f（x）＞f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最小值；
⑤若對(duì)于任意x＜x0有f′（x）＞0，對(duì)于任意x＞x0有f′（x）＜0，則f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)最大值；
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年云南省高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元測(cè)試14：導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，給出下列結(jié)論：
①若存在常數(shù)x，使f′（x）=0，則函數(shù)f（x）必在x處取得極值；
②若函數(shù)f（x）在x處取得極值，則函數(shù)f（x）在x處必可導(dǎo)；
③若函數(shù)f（x）在R上處處可導(dǎo)，則它有極小值就是它在R上的最小值；
④若對(duì)于任意x≠x都有f（x）＞f（x），則f（x）是函數(shù)f（x）的最小值；
⑤若對(duì)于任意x＜x有f′（x）＞0，對(duì)于任意x＞x有f′（x）＜0，則f（x）是函數(shù)f（x）的一個(gè)最大值；
其中正確結(jié)論的序號(hào)是     ．

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