Question

【題目】已知函數(shù)，其中為實常數(shù).

（1）若存在，使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時，設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）將所求問題轉(zhuǎn)化為在上有解，進一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；

（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為，進一步轉(zhuǎn)化為，然后再通過構(gòu)造加以證明即可.

（1），根據(jù)題意，在內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，

則不等式在上有解，由得，設(shè)，

則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，

所以當(dāng)時，，所以存在，使得成立，

所以的取值范圍為。

（2）當(dāng)時，，則，從而

所證不等式轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則不等式轉(zhuǎn)化

為，即，

即，令，則不等式轉(zhuǎn)化為，因為

，則，從而不等式化為，設(shè)，則

，所以在上單調(diào)遞增，所以

即不等式成立，故原不等式成立.