Question

【題目】已知有限集，如果中元素滿足，就稱為“復(fù)活集”.

（1）判斷集合是否為“復(fù)活集”，并說明理由；

（2）若，，且是“復(fù)活集”，求的取值范圍；

（3）若，求證：“復(fù)活集”有且只有一個(gè)，且.

Answer 1

【答案】（1）是；理由見解析；（2）；（3）見解析；

【解析】

根據(jù)已知中“復(fù)活集”的定義，結(jié)合韋達(dá)定理及反證法，進(jìn)而可得答案．

(1)，故集合是 “復(fù)活集”；

(2)不妨設(shè)，

則由韋達(dá)定理知，是一元二次方程的兩個(gè)根，

由△，可得，或，或；

(3)不妨設(shè)中，

由，得，當(dāng)時(shí)，

即有，

，于是，無解，即不存在滿足條件的“復(fù)活集” ，

當(dāng)時(shí)，，故只能，，求得，于是“復(fù)活集” 只有一個(gè)，為，2，．

當(dāng)時(shí)，由，即有，

也就是說“復(fù)活集” 存在的必要條件是，事實(shí)上，，矛盾，

當(dāng)時(shí)不存在復(fù)活集，

所以，“復(fù)活集”有且只有一個(gè)，且.