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【題目】如圖，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，、分別為、的中點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面平面；

（2）若平面與底面所成銳二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)四棱錐是正四棱錐，連接交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，以、、建立空間坐標(biāo)系.取的中點(diǎn)，用向量法證明，，得到平面，再用面面垂直的判定定理證明；

（2）設(shè)，求得平面的一個(gè)法向量，取平面的一個(gè)法向量，根據(jù)平面與底面所成銳二面角為，由，求得，設(shè)直線與平面所成的角為，代入公式求解.

（1）連接交于點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系.

∵，∴，則，，

，，，，

設(shè)是的中點(diǎn)，則，

，，，

∵，，∴，，

，∴平面，

∵平面，∴平面平面；

（2）設(shè)，則，，，

則，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，

令，則，，所以，

取平面的一個(gè)法向量為，

則，即，解得，∴，

設(shè)直線與平面所成的角為，∴，

即直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱．給出下面四個(gè)結(jié)論：①將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②點(diǎn)為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；③；④在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中正確的結(jié)論為（ ）

A.①②B.②③C.②④D.①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知集合A={（x，y）|（x﹣3﹣4cosq）2+（y﹣5﹣4sinq）2=4，θ∈R}，B={（x，y）|3x+4y﹣19=0}.記集合P=A∩B，則集合P所表示的軌跡的長(zhǎng)度為( )

A.8B.8C.8D.8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“未來(lái)肯定是非接觸的，無(wú)感支付的方式將成為主流，這有助于降低交互門檻”.云從科技聯(lián)合創(chuàng)始人姚志強(qiáng)告訴南方日?qǐng)?bào)記者.相對(duì)于主流支付方式二維碼支付，刷臉支付更加便利，以前出門一部手機(jī)解決所有，而現(xiàn)在連手機(jī)都不需要了，畢竟，手機(jī)支付還需要攜帶手機(jī)，打開二維碼也需要時(shí)間和手機(jī)信號(hào).刷臉支付將會(huì)替代手機(jī)，成為新的支付方式.某地從大型超市門口隨機(jī)抽取50名顧客進(jìn)行了調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：

男性

女性

總計(jì)

刷臉支付

18

25

非刷臉支付

13

總計(jì)

50

（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為使用刷臉支付與性別有關(guān)？

（2）從參加調(diào)查且使用刷臉支付的顧客中隨機(jī)抽取2人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)則如下：

“一等獎(jiǎng)”中獎(jiǎng)概率為0.25，獎(jiǎng)品為10元購(gòu)物券張（，且），“二等獎(jiǎng)”中獎(jiǎng)概率0.25，獎(jiǎng)品為10元購(gòu)物券兩張，“三等獎(jiǎng)”中獎(jiǎng)概率0.5，獎(jiǎng)品為10元購(gòu)物券一張，每位顧客是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，記參與抽獎(jiǎng)的兩位顧客中獎(jiǎng)購(gòu)物券金額總和為元，若要使的均值不低于50元，求的最小值.

附：，其中.

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.869

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（其中）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為，則對(duì)于下列判斷：

①直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；

②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心；

③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．

其中所有正確的判斷是（ ）

A.①②B.①③C.②③D.②

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】1852年，英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”.“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，例如求1到2000這2000個(gè)整數(shù)中，能被3除余1且被7除余1的數(shù)的個(gè)數(shù)，現(xiàn)由程序框圖，其中MOD函數(shù)是一個(gè)求余函數(shù)，記表示m除以n的余數(shù)，例如，則輸出i為（ ）.

A.98B.97C.96D.95

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)的下頂點(diǎn)時(shí)，的斜率為，當(dāng)直線垂直于的長(zhǎng)軸時(shí)，的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（Ⅲ）若直線上存在點(diǎn)滿足成等比數(shù)列，且點(diǎn)在橢圓外，證明：點(diǎn)在定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過(guò)人，這里的“六藝”其實(shí)源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂(lè)”必須分開安排的概率為（ ）

A. B. C. D.

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