Question

【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.

（1）求與的值；

（2）若斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為1，記直線的斜率為，直線的斜率為，試問：是否為定值？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1），；（2）為定值，證明見解析

【解析】

（1）由拋物線的定義可得，解出將代入到拋物線方程即可得的值；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線運(yùn)用韋達(dá)定理可得，根據(jù)斜率的定義化簡可得，進(jìn)而可得結(jié)果.

（1）根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，

即，解得，

∴拋物線方程為，

點(diǎn)在拋物線上，得，∴。

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

消元化簡得，

當(dāng)即即時(shí)，直線與拋物線有兩交點(diǎn)，

∴。

點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，，，

∴，，

∴，

所以為定值。