Question

【題目】已知橢圓 的長軸長是短軸長的2倍，且過點．

⑴求橢圓的方程；

⑵若在橢圓上有相異的兩點（三點不共線），為坐標原點，且直線，直線，直線的斜率滿足.

（�。┣笞C： 是定值；

（ⅱ）設(shè)的面積為，當(dāng)取得最大值時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析， .

【解析】試題分析：（1）由題可知： ，可設(shè)橢圓方程為，由橢圓過點，即可求出， 的值，從而求出橢圓的方程；（2）（ⅰ）設(shè)直線AB方程為： ， ， ，根據(jù)，可化簡得，再根據(jù)三點不共線，進而化簡得，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，結(jié)合韋達定理，即可解得，從而可得，(ⅰ)表示出，即可求出定值；（ⅱ）表示出= ，結(jié)合的取值范圍及基本不等式，求出取得最大值時的值，進而可求出直線方程.

試題解析：（1）由題可知： ，可設(shè)橢圓方程為，又因橢圓過點，則，解得，所以橢圓方程為

（2）設(shè)直線AB方程為： ， ，

∵

∴，化簡得：

∵A、O、B三點不共線

∴ 則 ①

由可得: ,

由韋達定理可得 ② 且 ③

將②代入①式得： ，解得，則 ④

(ⅰ) ==

將④代入得==

(ⅱ) ==

由 ③ ④ 可得： ，則==，

當(dāng)且僅當(dāng)時，直線方程為.