Question

已知圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿(mǎn)足| |=||

 （1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

 （2）過(guò)點(diǎn)（2，0）作直線(xiàn)，與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 是否存在這樣的直線(xiàn)，使四邊形的對(duì)角線(xiàn)相等（即||=||）？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵|PG|=|GN|

    ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，

    又

     |GN|+|GM||MN|

由橢圓定義可知，點(diǎn)G的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)方程為

則

  

∴點(diǎn)G的軌跡方程是…………5分

   （2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052419012804686428/SYS201205241903349687882060_DA.files/image009.png">，所以四邊形OASB為平行四邊形

    假設(shè)存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形

      ①當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x=2，

由

      此時(shí)矛盾，不合題意，舍去.   

      ②當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為設(shè)

       得

       （※）

       ①………………………………10分

       ②

    把①、②代入 

解得代入（※）式驗(yàn)證可知成立

∴直線(xiàn)l的方程為即

∴存在直線(xiàn)的方程為使得四邊形OASB的對(duì)角線(xiàn)相等.

【解析】略