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【題目】如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正切值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）可證平面，從而得到，又可證，從而得到平面.

（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和面的法向量后計(jì)算它們的夾角的余弦值，再結(jié)合二面角為鈍角以及同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式可求二面角的正切值.

（1）證明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，，

∵矩形菱形，平面， ∴平面.

∵平面，∴，

∵菱形中，

，，，故，

∴由勾股定理得，∴，

∵，∴平面.

（2）由（1）可知，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知，，，，

，，

設(shè)平面的法向量，

則，取得.

設(shè)平面的法向量，則

，取得

設(shè)二面角的平面角為，

則且，所以，

由為鈍角，所以二面角的正切值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在正四棱錐中，已知異面直線與所成的角為，給出下面三個(gè)命題:

:若，則此四棱錐的側(cè)面積為；

：若分別為的中點(diǎn)，則平面；

:若都在球的表面上，則球的表面積是四邊形面積的倍.

在下列命題中，為真命題的是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2a＝2bcosC+csinB．

（Ⅰ）求tanB；

（Ⅱ）若C，△ABC的面積為6，求BC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線：，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作的切線，兩切線相交于點(diǎn).

（1）記直線，的斜率分別為，，證明：為定值；

（2）記的面積為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)某社團(tuán)為研究高三學(xué)生課下鉆研數(shù)學(xué)時(shí)間與數(shù)學(xué)考試中的解答題得分的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了某中學(xué)高三某班名學(xué)生每周課下鉆研數(shù)學(xué)時(shí)間(單位：小時(shí))與高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)解答題得分，數(shù)據(jù)如下表：

2

4

6

8

10

12

30

38

44

48

50

54

（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出數(shù)學(xué)考試中的解答題得分與該學(xué)生課下鉆研數(shù)學(xué)時(shí)間的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)某學(xué)生每周課下鉆研數(shù)學(xué)時(shí)間為小時(shí)其數(shù)學(xué)考試中的解答題得分；

（2）從這人中任選人，求人中至少有人課下鉆研數(shù)學(xué)時(shí)間不低于小時(shí)的概率.

參考公式：，其中， ；參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報(bào)告中向全國(guó)人民發(fā)出的口號(hào)，某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號(hào)召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如表所示：

試銷單價(jià)（元）

4

5

6

7

8

9

產(chǎn)品銷量（件）

84

83

80

75

68

已知，，，

（1）試求，若變量，具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量（件）關(guān)于試銷單價(jià)（元）的線性回歸方程；

（2）用表示用（1）中所求的線性回歸方程得到的與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值．當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值時(shí)，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，求恰好2個(gè)都是“好數(shù)據(jù)”的概率．

（參考公式：線性回歸方程中，的最小二乘估計(jì)分別為，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），直線（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系

（1）求曲線C與直線l的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線l與曲線C相交，交點(diǎn)為，直線與x軸交于Q點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為，證明：當(dāng)時(shí)，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年是我國(guó)打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)收官之年，為落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧”政策，某扶貧小組為一“對(duì)點(diǎn)幫扶”農(nóng)戶引種了一種新的經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物，并指導(dǎo)該農(nóng)戶于2020年初開(kāi)始種植.已知該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物每年每畝的種植成本為1000元，根據(jù)前期各方面調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物的市場(chǎng)價(jià)格和畝產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且兩者互不影響，其具體情況如下表：

該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物畝產(chǎn)量

900

1200

該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物市場(chǎng)價(jià)格（元)

15

20

概率

概率

（1）設(shè)2020年該農(nóng)戶種植該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物一畝的純收入為元，求的分布列；

（2）若該農(nóng)戶從2020年開(kāi)始，連續(xù)三年種植該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物，假設(shè)三年內(nèi)各方面條件基本不變，求這三年中該農(nóng)戶種植該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物一畝至少有兩年的純收入不少于16000元的概率；

（3）2020年全國(guó)脫貧標(biāo)準(zhǔn)約為人均純收入4000元.假設(shè)該農(nóng)戶是一個(gè)四口之家，且該農(nóng)戶在2020年的其他方面的支出與收入正好相抵，能否憑這一畝經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物的純收入，預(yù)測(cè)該農(nóng)戶在2020年底可以脫貧？并說(shuō)明理由.

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