Question

【題目】（1）閱讀以下案例，利用此案例的想法化簡．

案例：考察恒等式左右兩邊的系數(shù)．

因為右邊，

所以，右邊的系數(shù)為，

而左邊的系數(shù)為，

所以＝．

（2）求證：．

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析.

【解析】

（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右兩邊x3的系數(shù)可得；

（2）根據(jù) ，考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右兩邊xn的系數(shù)．考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右兩邊xn﹣1的系數(shù)，可得等式成立．

（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右兩邊x3的系數(shù)，

因為右邊（1+x）3（x+1）4＝（+x+x2+x3）（x4+x3+x2+x+），

所以，右邊x3的系數(shù)為＝

而左邊x3的系數(shù)為：，所以．

（2）∵，

．

考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右兩邊xn的系數(shù)．

因為右邊xn的系數(shù)為＝，而左邊的xn的系數(shù)為．

所以，同理可求得

考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右兩邊xn﹣1的系數(shù)，

因為右邊（1+x）n﹣1（x+1）n＝（+x+…+xn﹣1）（xn+xn﹣1+…+），

所以，右邊的xn﹣1的系數(shù)為＝，

而左邊的xn﹣1的系數(shù)為，所以＝，

﹣＝+2n+﹣

＝2n+＝n（+）+＝n（+）+

＝n+＝（n+1）．