Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)，試討論的單調(diào)性；

（2）若，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）由于函數(shù)，得出，分類討論當(dāng)和時(shí)，的正負(fù)，進(jìn)而得出的單調(diào)性；

（2）求出，令，得，設(shè)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)，可得出在上的單調(diào)性和值域，再分類討論和時(shí)，的單調(diào)性，再結(jié)合，恒成立，即可求出的取值范圍.

解：（1）因?yàn)?/span>，

所以，

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.

②當(dāng)時(shí)，令，則；令，則，

所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）因?yàn)?/span>，可知，

，

令，得.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以在上的值域是，即.

當(dāng)時(shí)，沒(méi)有實(shí)根，且，

在上單調(diào)遞減，，符合題意.

當(dāng)時(shí)，，

所以有唯一實(shí)根，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，不符合題意.

綜上，，即的取值范圍為.