Question

【題目】已知函數(shù)，.

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)在上的最大值為1，求實數(shù)的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導得，對分類討論，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）函數(shù)在上的最大值為1等價于對任意，恒成立，即對任意恒成立，變形可得，分別對，及討論，即可求得實數(shù)的取值集合.

試題解析：（1）.

當時，在上單調(diào)遞減；

當時，，即在上單調(diào)遞減；

當時，.

∴時，，在上遞減；

時，，在上遞增；

時，，在上遞減；

綜上，當時，在上單調(diào)遞減；

當時，在上遞減；

在上遞增；上遞減.

（2）∵函數(shù)在上的最大值為1

∴對任意，恒成立，即對任意恒成立，變形可得.

當時，即，可得；

當時，.則

令，則.

當時，，當時，.

因此，，

∴.

當時，.則

令，則.

當時，，

因此，，

∴.

綜上，.

∴的取值集合為.