【題目】如圖在三棱柱中,
為
邊的中點(diǎn),
.
(1)證明:平面
;
(2)若,
為
中點(diǎn)且
,
,
,求平面
與平面
所成二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)利用三角形中位線的性質(zhì)得出,利用線面平行的判定定理可證得
平面
;
(2)證明出平面
,由此可得出
、
、
兩兩垂直,然后以點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn),
、
、
分別為
、
、
軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得平面
與平面
所成二面角的余弦值.
(1)在三棱柱中,側(cè)面
為平行四邊形,
由,可知
為
的中點(diǎn),又因?yàn)?/span>
為
邊的中點(diǎn),所以
,
平面
,
平面
,所以
平面
;
(2)因?yàn)?/span>,
,
,所以
,所以
,
取中點(diǎn)
,則
,
,
因?yàn)?/span>,
,所以
,
又,所以滿足
,
,
,所以
平面
,即
、
、
兩兩相互垂直,
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),
、
、
分別為
、
、
軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖示),
所以、
、
、
,
,
所以,
,
設(shè)平面的法向量為
,
則有,即
,取
,則
,
,所以
,
因?yàn)?/span>平面
,所以平面
的法向量可以取為
,
,
所以平面與平面
所成的二面角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】百年大計(jì),教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號召,不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度,為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進(jìn)行專項(xiàng)培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計(jì)有如下表格.(其中表示通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù),
表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù))
年份(屆) | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
41 | 49 | 55 | 57 | 63 | |
82 | 96 | 108 | 106 | 123 |
(1)通過畫散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)與
之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求
關(guān)于
的線性回歸方程;(保留兩位有效數(shù)字)
(2)若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人,預(yù)測2019年高考該校考人名校的人數(shù);
(3)若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個(gè)人回校宣傳,在選取的5個(gè)人中再選取2人進(jìn)行演講,求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.
參考公式:,
參考數(shù)據(jù):,
,
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面四邊形中,
,
是
上的一點(diǎn),
是
的中點(diǎn),以
為折痕把
折起,使點(diǎn)
到達(dá)點(diǎn)
的位置,且
.
(1)證明:平面平面
;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)
.
(1)求拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)直線交拋物線
于
,
不同兩點(diǎn),且
,
位于
軸兩側(cè),過點(diǎn)
,
分別作拋物線
的兩條切線交于點(diǎn)
,直線
,
與
軸的交點(diǎn)分別記作
,
.記
的面積為
,
面積為
,
面積為
,試問
是否為定值,若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年10月1日,是中華人民共和國成立70周年紀(jì)念日.70年砥礪奮進(jìn),70年波瀾壯闊,感染、激勵(lì)著一代又一代華夏兒女,為祖國的繁榮昌盛努力拼搏,奮發(fā)圖強(qiáng).為進(jìn)一步對學(xué)生進(jìn)行愛國教育,某校社會實(shí)踐活動(dòng)小組,在老師的指導(dǎo)下,從學(xué)校隨機(jī)抽取四個(gè)班級160名同學(xué)對這次國慶閱兵受到激勵(lì)情況進(jìn)行調(diào)查研究,記錄的情況如下圖:
(1)如果從這160人中隨機(jī)選取1人,此人非常受激勵(lì)的概率和此人是很受激勵(lì)的女同學(xué)的概率都是,求
的值;
(2)根據(jù)“非常受激勵(lì)”與“很受激勵(lì)”兩種情況進(jìn)行研究,判斷是否有的把握認(rèn)為受激勵(lì)程度與性別有關(guān).
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)絡(luò)商城在年
月
日開展“慶元旦”活動(dòng),當(dāng)天各店鋪銷售額破十億,為了提高各店鋪銷售的積極性,采用搖號抽獎(jiǎng)的方式,抽取了
家店鋪進(jìn)行紅包獎(jiǎng)勵(lì).如圖是抽取的
家店鋪元旦當(dāng)天的銷售額(單位:千元)的頻率分布直方圖.
(1)求抽取的這家店鋪,元旦當(dāng)天銷售額的平均值;
(2)估計(jì)抽取的家店鋪中元旦當(dāng)天銷售額不低于
元的有多少家;
(3)為了了解抽取的各店鋪的銷售方案,銷售額在和
的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷售研究,求抽取的店鋪銷售額在
和
各一個(gè)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在多面體ABCDPE中,四邊形ABCD是直角梯形,,
,平面
平面
,
,
,
,
,
的余弦值為
,
,F為BE中點(diǎn),G為PD中點(diǎn).
(1)求證:平面ABCD;
(2)求平面BCE與平面ADE所成角(銳角)的余弦值.
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