Question

【題目】已知圓的圓心為，為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）記點(diǎn)的軌跡為曲線，點(diǎn)，.若點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，直線、分別交曲線于、兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則.所以，即點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，即可求出軌跡方程.

（2）設(shè)，由于橢圓關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以不妨設(shè)則直線的方程為：，直線的方程為：.設(shè)，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，即可求出，的坐標(biāo)，而

再用基本不等式的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)求出面積最值.

解：（1）由題意，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則.

所以，

即點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，

所以，，

故點(diǎn)的軌跡方程為：；

（2）設(shè)，由于橢圓關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以不妨設(shè)

則直線的方程為：，直線的方程為：.

設(shè)，

由得，則，

即，于是.

同理可得：，

所以

設(shè)，則，則

在單調(diào)遞減，故.