已知點(diǎn),曲線
上的動點(diǎn)
滿足
,定點(diǎn)
,由曲線
外一點(diǎn)
向曲線
引切線
,切點(diǎn)為
,且滿足
.
(1)求線段長的最小值;
(2)若以為圓心所作的圓
與曲線
有公共點(diǎn),試求半徑取最小值時(shí)圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1);(2)
.
【解析】
試題分析:本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的點(diǎn)乘、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問,利用向量的點(diǎn)乘求出點(diǎn)的軌跡方程,數(shù)形結(jié)合找出
,所以
,然后配方法求最值;第二問,利用兩圓的位置關(guān)系列出不等式,用配方法求最值,得到圓心和半徑,寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
試題解析:(Ⅰ)設(shè),則
,
∴,
即點(diǎn)軌跡(曲線
)方程為
,即曲線
是
. 2分
連∵
為切點(diǎn),
,由勾股定理有:
.
又由已知,故
.
即:,
化簡得實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系為:
,即
.(4分)
∴=
,
故當(dāng)時(shí),
即線段
長的最小值為
7分
(另法)由點(diǎn)在直線
:
上.
∴,即求點(diǎn)
到直線
的距離.
∴(7分)
(Ⅱ)設(shè)的半徑為
,∵
與
有公共點(diǎn),
的半徑為1,
即
且
. 8分
而, 9分
故當(dāng)時(shí),
. 10分
此時(shí),
. 11分
得半徑取最小值時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程為
. 13分
(另法)與
有公共點(diǎn),
半徑最小時(shí)為與
外切(取小者)的情形,而這些半徑的最小值為圓心
到直線
的距離減去1,圓心
為過原點(diǎn)與
垂直的直線
與
的交點(diǎn)
.
.
又,(10分)
解方程組,得
.即
,
∴所求標(biāo)準(zhǔn)方程為
.(13分)
考點(diǎn):1.向量的點(diǎn)乘;2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;3.勾股定理;4.配方法求最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期5月高考沖刺文科數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知點(diǎn)為圓
上的動點(diǎn),且
不在
軸上,
軸,垂足為
,線段
中點(diǎn)
的軌跡為曲線
,過定點(diǎn)
任作一條與
軸不垂直的直線
,它與曲線
交于
、
兩點(diǎn)。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點(diǎn)
,使得
總能被
軸平分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知點(diǎn)為圓
上的動點(diǎn),且
不在
軸上,
軸,垂足為
,線段
中點(diǎn)
的軌跡為曲線
,過定點(diǎn)
任作一條與
軸不垂直的直線
,它與曲線
交于
、
兩點(diǎn)。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點(diǎn)
,使得
總能被
軸平分
【解析】第一問中設(shè)為曲線
上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)
在圓
上,
∴,曲線
的方程為
第二問中,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,直線
的方程為
, ………………3分
代入曲線的方程
,可得
∵,∴
確定結(jié)論直線與曲線
總有兩個(gè)公共點(diǎn).
然后設(shè)點(diǎn),
的坐標(biāo)分別
,
,則
,
要使被
軸平分,只要
得到。
(1)設(shè)為曲線
上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)
在圓
上,
∴,曲線
的方程為
. ………………2分
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,直線
的方程為
, ………………3分
代入曲線的方程
,可得
,……5分
∵,∴
,
∴直線與曲線
總有兩個(gè)公共點(diǎn).(也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓
的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設(shè)點(diǎn),
的坐標(biāo)分別
,
,則
,
要使被
軸平分,只要
,
………………9分
即,
, ………………10分
也就是,
,
即,即只要
………………12分
當(dāng)時(shí),(*)對任意的s都成立,從而
總能被
軸平分.
所以在x軸上存在定點(diǎn),使得
總能被
軸平分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年遼寧省鐵嶺六校高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
已知點(diǎn)為圓
上的動點(diǎn),且
不在
軸上,
軸,垂足為
,線段
中點(diǎn)
的軌跡為曲線
,過定點(diǎn)
任作一條與
軸不垂直的直線
,它與曲線
交于
、
兩點(diǎn)。
(1)求曲線的方程;
(2)試證明:在軸上存在定點(diǎn)
,使得
總能被
軸平分。
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