Question

已知函數：(a為常數)． (1) 當f(x)的定義域為[a＋，a＋1]時，求函數f(x)的值域 (2) 試問：是否存在常數m使得f(x)＋f(m－x)＋2＝0對定義域內的所有x都成立；若有求出m，若沒有請說明理由． (3) 如果一個函數的定義域與值域相等，那么稱這個函數為“自對應函數”．若函數f(x)在[s，t](a＜s＜t)上為“自對應函數”時，求實數a的范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解法一：……………………………2分 當，， ，， ∴．………………………………………4分 即．……………………………………………5分 　　解法二： 在[a＋，a＋1]上為增函數．………2分 ∴……………………………………4分 ………………………………………………5分
(2)	解法一：假設存在m使得f(x)＋f(m－x)＋2＝0成立 則－1＋………7分 ＝＝0恒成立……………………………………8分 ∴m＝2a ∴存在常數m＝2a滿足題意……………………………………10分 　　解法二：因為函數圖象的對稱中心為(0，0)，函數的圖象由的圖象按向量平移得到．…………………………………6分 所以函數的對稱中心為(a，－1)…………7分 則有得：………………………………8分 所以 ………………………………………………9分 存在常數滿足題意……………………………………………10分
(3)	因為函數f(x)在上為增函數，又 ∴f(x)在上為增函數，f(x)的值域為 ∴又函數f(x)在上為“自對應函數”， ＝…………………………………………………………11分 所以……………………………………………………………12分 所以：f(x)＝x有兩個大于a的相異實根 即：有兩個大于a的相異實根………………………13分 所以　　　　(1) 　　　　(2) 　　　　(3)………………………………………15分 解得：…………………………………………………………………16分