Question

【題目】設函數(shù)．

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若在上有兩個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）求導得，故根據(jù)的符號可判斷函數(shù)的單調(diào)性．（2）結(jié)合（1）中的函數(shù)的單調(diào)性求解，當時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，故要有兩個零點，則需，解不等式可得結(jié)果；當時，可得單調(diào)遞增，而，所以在上有一個零點0，不合題意．由此可得所求范圍為．

詳解：（ 1）∵，

∴．

令，則．

∴有兩不等實根，．

且當或時，單調(diào)遞減；

當時，單調(diào)遞增．

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

（2）解法1：

①當時，由（1）知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

∵在上有兩個零點，且，

∴，解得．

②當時，若，則，在單調(diào)遞增，而，所以因為在上有一個零點0．

綜上得當在上有兩個零點時，實數(shù)的取值范圍為．

解法2：

①當時，若，則，在單調(diào)遞增，

又，

∴在上有一個零點0．

②當時，由（1）得，．

（ⅰ）若，則，在單調(diào)遞增．

又，

∴在上只有一個零點．

（ⅱ）若，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∵，

∴若在上有兩個零點，則，解得．

綜上得當在上有兩個零點時，實數(shù)的取值范圍為．