Question

【題目】若函數(shù)在區(qū)間上恰好有一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

將函數(shù)在區(qū)間，上有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程在區(qū)間，上恰有一個(gè)根，也即是函數(shù)和函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰好有一個(gè)交點(diǎn)，由二次函數(shù)得出函數(shù)的值域，令，再分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩種情況下兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況得出的范圍，根據(jù)雙勾函數(shù)可求得的最小值.

依題意，函數(shù)在區(qū)間，上有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程在區(qū)間，上恰有一個(gè)根，

函數(shù)和函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰好有一個(gè)交點(diǎn)，

函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，在上有最小值，時(shí)，，，

函數(shù)，令，

當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)和函數(shù)的圖象在區(qū)間上無交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知單調(diào)遞增，如圖，

由圖可知，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)圖象恰好有1個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)，解得，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為，

故答案為：.