Question

【題目】已知函數(shù)的值域為，記函數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）存在使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若關(guān)于的方程有5個不等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1,(2) ,(3)

【解析】

（1）利用配方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的值.

（2）將原問題轉(zhuǎn)化為“存在成立”，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍.

（3）首先判斷不是方程的根. 當(dāng)時，利用換元法，將原方程轉(zhuǎn)化為.通過研究的單調(diào)性和值域，結(jié)合方程根的個數(shù)，求得的取值范圍，由此求得的取值范圍.

（1）因為，

即有時，，

即，解得..

（2）由已知可得，

由可轉(zhuǎn)化為，存在成立，

令，

則問題轉(zhuǎn)化為存在使不等式成立，

記，則.

（3）當(dāng)，2時，，所以不是方程的根；

當(dāng)時，令，

則當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，

當(dāng)單調(diào)遞增，且，

當(dāng)時，單調(diào)遞減，且，

當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，

故原方程有5個不等實根可轉(zhuǎn)化為

即為，

所以或，

當(dāng)，方程有3個不等根，

故要使得原方程有5個不等實根，只要，即，

所以的取值范圍是.