Question

【題目】已知分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足.

(1)求的方程；

(2)若點(diǎn)在圓上，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，即可求得的值，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出直線的方程為，由題意可知為中點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出，由判別式可得；由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義，化簡(jiǎn)可得，代入弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓的方程，化簡(jiǎn)可得，代入數(shù)量積公式并化簡(jiǎn)，由換元法令，代入可得，再令及，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可確定的取值范圍，即確定的取值范圍，因而可得的取值范圍.

（1）分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，

則，橢圓的離心率為

則解得，

所以，

所以的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)滿足，則為中點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，設(shè)，

聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡(jiǎn)可得，

所以

則，化簡(jiǎn)可得，

而

由弦長(zhǎng)公式代入可得

為中點(diǎn)，則

點(diǎn)在圓上，代入化簡(jiǎn)可得，

所以

令，則，，

令，則

令，則，

所以，

因?yàn)?/span>在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，

即

所以