Question

(2007湖北，18)如下圖，在三棱錐V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=a，．

(1)求證：平面VAB⊥平面VCD；

(2)當(dāng)角θ變化時(shí)，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)∵AC=BC=a， ∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，又VC⊥底面ABC， ∴VC⊥AB．于是AB⊥平面VCD， 又AB平面VAB． ∴平面VAB⊥平面VCD． (2)過點(diǎn)C在平面VCD內(nèi)作CH⊥VD于H，則由(1)知CH⊥平面VAB． 連接BH，于是∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角． 在Rt△CHD中， ； 設(shè)．在Rt△BHC中，CH=asin， ．∵ ∴0＜sinθ＜1，． 又．∴． 即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為 ． 解法二：(1)以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)， 于是 ， ． ． 即AB⊥CD． 同理 ， 即AB⊥VD．又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD． (2)設(shè)直線BC與平面VAB所成的角為，平面VAB的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，則由，． 得 可取， 又 ， 于是 ， ∵ ，∴0＜sinθ＜1， ∴．又， ∴．即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為 ．