Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)的極小值為，當(dāng)時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）對(duì)求導(dǎo)可得，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，判斷的符號(hào)，進(jìn)而可得的單調(diào)性；（Ⅱ）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，可得的極小值，對(duì)求導(dǎo)，易證，在將等價(jià)轉(zhuǎn)化為，令，對(duì)其求導(dǎo)求其最值即可.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>（且），所以.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，，所以.

故在上為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，，所以，所以在上為增函數(shù).

故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.

（Ⅱ）由已知可得，則.令，得，.

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，

所以的極小值.

由，得.

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).

所以.

而 .

下證：時(shí)，.

.

令，則.

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).

所以，即.

所以，即.所以.

綜上所述，要證的不等式成立.