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若圓過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線，、為曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若，直線的斜率為，過、兩點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處有共同的切線，求圓的方程；

（3）分別過、作曲線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在直線上，求證：與均為定值.

21.解：（1）依題意,點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離，所以點(diǎn)的軌跡為拋物線，曲線的方程為；       …………………………………………………………3分

（2）直線的方程是,即，

由得點(diǎn)、的坐標(biāo)是或，………………………………5分

當(dāng)、時(shí)，由得,，

 所以拋物線在點(diǎn)處切線的斜率為，

直線的方程為，即…………①

線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，中垂線方程為，即…………②

由①、②解得，       …………………………………………………………7分

于是，圓的方程為，

即  ， ………………………………………………………8分

當(dāng)、時(shí)，拋物線在點(diǎn)處切線的斜率為，此時(shí)切線與垂直，所求圓為以為直徑的圓，可求得圓為，  ……9分

（3）設(shè)，,，過點(diǎn)的切線方程為，

即，同理可得，所以,，……10分

又=，所以直線的方程為，

即,亦即,所以，………………………………………11分

而,，所以

.               …………………………………13分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年甘肅省高三百題集理科數(shù)學(xué)試卷（解析版）（四） 題型：解答題

若圓過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線，、為曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若，直線的斜率為，過、兩點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處有共同的切線，求圓的方程；

（3）分別過、作曲線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在直線上，求證：與均為定值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學(xué)文史類模擬試卷（三） 題型：解答題

已知動圓P過點(diǎn)且與直線相切．

（Ⅰ） 求動圓圓心P的軌跡E的方程；

（Ⅱ） 設(shè)直線與軌跡E交于點(diǎn)A、B，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作軸的垂線交軌跡E于N．

① 證明：軌跡E點(diǎn)N處的切線與AB平行；

② 是否存在實(shí)數(shù)，使？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知動圓P過點(diǎn)數(shù)學(xué)公式且與直線數(shù)學(xué)公式相切．
（1）求動圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）設(shè)直線y=x+2與軌跡E交于點(diǎn)A、B，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交軌跡E于N．
①證明：軌跡E點(diǎn)N處的切線l與AB平行；
②是否存在實(shí)數(shù)a，使數(shù)學(xué)公式？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分13分）若圓過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線，、為曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若，直線的斜率為，過、兩點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處有共同的切線，求圓的方程；

（3）分別過、作曲線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在直線上，求證：與均為定值.

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