Question

【題目】一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓后要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得150分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得100分，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得50分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則獲得-300分.設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立.

（1）若一盤游戲中僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率為，求的最大值點(diǎn)；

（2）以（1）中確定的作為的值，玩3盤游戲，出現(xiàn)音樂(lè)的盤數(shù)為隨機(jī)變量，求每盤游戲出現(xiàn)音樂(lè)的概率，及隨機(jī)變量的期望；

（3）玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了.請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中概率計(jì)算,可得僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率.然后求得導(dǎo)函數(shù),并令求得極值點(diǎn).再根據(jù)的單調(diào)情況,求得的最大值.

（2）由（1）可知,.先求得不出現(xiàn)音樂(lè)的概率, 由對(duì)立事件概率性質(zhì)即可求得出現(xiàn)音樂(lè)的概率.結(jié)合二項(xiàng)分布的期望求法,即可得隨機(jī)變量的期望;

（3）求得每個(gè)得分的概率,根據(jù)公式即可求得得分的數(shù)學(xué)期望.構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)即可證明數(shù)學(xué)期望為負(fù)數(shù),即可說(shuō)明分?jǐn)?shù)變少.

（1）由題可知,一盤游戲中僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率為：

,

由得或（舍）

當(dāng)時(shí),；

當(dāng)時(shí),,

∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

∴當(dāng)時(shí),有最大值,即的最大值點(diǎn)；

（2）由（1）可知,

則每盤游戲出現(xiàn)音樂(lè)的概率為

由題可知

∴；

（3）由題可設(shè)每盤游戲的得分為隨機(jī)變量,則的可能值為-300,50,100,150；

∴；

；

；

；

∴

；

令,則；

所以在單調(diào)遞增；

∴；

即有；

這說(shuō)明每盤游戲平均得分是負(fù)分,由概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)可知：經(jīng)過(guò)若干盤游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比,分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而會(huì)減少.