Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，函數(shù)取得極大值，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）已知結論：若函數(shù)在區(qū)間內存在導數(shù)，則存在

，使得. 試用這個結論證明：若函數(shù)

（其中），則對任意，都有；

（Ⅲ）已知正數(shù)滿足，求證：對任意的實數(shù)，若時，都

有.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導數(shù)法判斷函數(shù)的單調性，根據(jù)函數(shù)在極值時有極值求出參數(shù)的值；（Ⅱ）構造新函數(shù)再利用導數(shù)法求解；（Ⅲ）由已知條件得出，再利用第（Ⅱ）問的結論對任意，都有求解.

試題解析：（Ⅰ）由題設，函數(shù)的定義域為，且

所以，得，此時.

當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；

當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.

函數(shù)在處取得極大值，故                  4分

（Ⅱ）令，

則.

因為函數(shù)在區(qū)間上可導，則根據(jù)結論可知：存在

使得                                 7分

又，

當時，，從而單調遞增，；

當時，，從而單調遞減，；

故對任意，都有          .            9分

（Ⅲ），且，，

 

同理，                 12分

由（Ⅱ）知對任意，都有，從而

．     14分

考點：導數(shù)的基本運算；導數(shù)與函數(shù)的單調性關系；不等式的基本性質與證明.