Question

已知圓的方程為，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為．

（1）若，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求證：經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）求弦長(zhǎng)的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）或；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】（1）根據(jù)，求得；（2）求出圓的方程，此式是關(guān)于的恒等式，列條件；（3）表示出弦長(zhǎng)，求最值。

解：（1）設(shè)，由題可知，所以，解之得：故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或．　                      ．．．．．．．．4分     

（2）設(shè)，的中點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061918000550088496/SYS201206191801320476258986_DA.files/image014.png">是圓的切線

所以經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓是以為圓心，以為半徑的圓，

故其方程為：               ．．．．．．．．6分

化簡(jiǎn)得：，此式是關(guān)于的恒等式，

故解得或                          

所以經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)或.                  ．．．．．．．．10分

（3）設(shè)，且與交于點(diǎn)，則

   當(dāng)時(shí)，最小值為 ．．．16分

（幾何方法酌情給分）