Question

【題目】已知數列a，b，c是各項均為正數的等差數列，公差為d（d＞0）．在a，b之間和b，c之間共插入n個實數，使得這n+3個數構成等比數列，其公比為q．

（1）求證：|q|＞1；

（2）若a＝1，n＝1，求d的值；

（3）若插入的n個數中，有s個位于a，b之間，t個位于b，c之間，且s，t都為奇數，試比較s與t的大小，并求插入的n個數的乘積（用a，c，n表示）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．（3）當n＝4k﹣2（k∈N*）時，積為；當n＝4k（k∈N*）時，積為．

【解析】

（1）先由條件求出知，又有c＝a+2d代入即可得|qn+2|＞1，就可證明結論；

（2）先求出b＝1+d，c＝1+2d，然后對插入的數分所在位置所存在的兩種情況分別求出d的值即可；

（3）先由條件求得|q|s+1＞|q|t+1s＞t．然后再對q所存在的可為正數，也可為負數兩種情況分別求出插入的n個數的乘積即可．

（1）由題意知，c＝a+2d，

又a＞0，d＞0，可得，

即|qn+2|＞1，故|q|n+2＞1，又n+2是正數，故|q|＞1．

（2）由a，b，c是首項為1、公差為d的等差數列，故b＝1+d，c＝1+2d，

若插入的這一個數位于a，b之間，則1+d＝q2，1+2d＝q3，

消去q可得（1+2d）2＝（1+d）3，即d3﹣d2﹣d＝0，其正根為．

若插入的這一個數位于b，c之間，則1+d＝q，1+2d＝q3，

消去q可得1+2d＝（1+d）3，即d3+3d2+d＝0，此方程無正根．

故所求公差．

（3）由題意得，，又a＞0，d＞0，

故，可得，又，

故qs+1＞qt+1＞0，即|q|s+1＞|q|t+1．

又|q|＞1，故有s+1＞t+1，即s＞t．

設n+3個數所構成的等比數列為an，則，

由akan+4﹣k＝a1an+3＝ac（k＝2，3，4，n+2），

可得（a2a3an+2）2＝（a2an+2）（a3an+1）（an+1a3）（an+2a2）＝（ac）n+1，

又，，

由s，t都為奇數，則q既可為正數，也可為負數，

①若q為正數，則a2a3an+2，插入n個數的乘積為；

②若q為負數，a2，a3，an+2中共有個負數，

故a2a3，所插入的數的乘積為．

所以當n＝4k﹣2（k∈N*）時，所插入n個數的積為；

當n＝4k（k∈N*）時，所插入n個數的積為．