Question

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)為橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的右焦點(diǎn)F．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，求P到直線y=x+3的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由已知得到焦點(diǎn)F（1，0），可得

p

2

=1，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）解法1：設(shè)P（x，y），利用P到直線y=x+3的距離d=

|x-y+3|

2

，又y²=4x，利用點(diǎn)到直線的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得d=

| y2 4 -y+3|

2

=

|y2-4y+12|

4 2

=

(y-2)2+8

4 2

≥

8

4 2

=

2

．
解法2：設(shè)l與直線y=x+3平行且與拋物線相切，即l：y=x+b，由

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0，因?yàn)椤?（2b-4）²-4b²=0，即可得到b，進(jìn)而得出切點(diǎn)和距離．

解答：解：（1）由題知F（1，0）
∴拋物線方程：y²=4x．
（2）解法1：設(shè)P（x，y），
則P到直線y=x+3的距離d=

|x-y+3|

2

，又y²=4x
∴d=

| y2 4 -y+3|

2

=

|y2-4y+12|

4 2

=

(y-2)2+8

4 2

≥

8

4 2

=

2

．
∴當(dāng)P（1，2）時(shí)，dmin=

2

．
解法2：設(shè)l與直線y=x+3平行且與拋物線相切，
即l：y=x+b，由

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0，∵△=（2b-4）²-4b²=0，∴b=1
此時(shí)切點(diǎn)P（1，2），P到直線y=x+3的距離最小為

|3-1|

2

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題中考查了橢圓及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相切問題轉(zhuǎn)化為與橢圓的方程聯(lián)立得到判別式△=0或利用點(diǎn)到直線的距離公式及二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力、計(jì)算能力．