Question

【題目】已知函數(shù)，.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）設(shè)；

①若函數(shù)在處的切線過(guò)點(diǎn)，求的值；

②當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，求的取值范圍.

（2）設(shè)函數(shù)，且，求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】(1) ， (2)見解析

【解析】試題分析：（1）①由和可得在處的切線方程，代入點(diǎn)得；

②當(dāng)，可得，討論和時(shí)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而研究零點(diǎn)即可；

（2）等價(jià)于，令，求得求最值即可證得.

試題解析：

（1）①由題意，得，

所以函數(shù)在處的切線斜率，又，

所以函數(shù)在處的切線方程，

將點(diǎn)代入，得．

②當(dāng)，可得，因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，

所以只需，解得，從而．

當(dāng)時(shí)，由，解得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，

單調(diào)遞增．所以函數(shù)在上有最小值為，

令，解得，所以． 綜上所述，．

（2）由題意，，

而等價(jià)于．

令，

則，且，．

令，則．

因?yàn)?/span>， 所以，所以導(dǎo)數(shù)在上單調(diào)遞增，

于是．

從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即．

即當(dāng)時(shí)，．