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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

【題目】已知拋物線，過的直線與拋物線相交于兩點.

（1）若點是點關(guān)于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；

（2）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）（2）存在，直線的方程為；定值為

【解析】

（1）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程消元，然后韋達定理可得，，然后，用將表示出來即可.

（2）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入，得，然后將表示出來即可.

（1）依題意，點的坐標為，可設(shè)，，

直線的方程為，與聯(lián)立得.

由韋達定理得：，，

于是，

所以當(dāng)時，面積最小值，最小值為.

（2）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，

則以為直徑的圓的方程為，

將直線方程代入，得，

則.

設(shè)直線與以為直徑的圓的交點為，，

則，，于是有

當(dāng)，即時，為定值.

故滿足條件的直線存在，其方程為.

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（1）求橢圓的方程；

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（1）求拋物線的方程；

（2）若，直線與交于點，，求直線的斜率.

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