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【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，、均為等邊三角形，為的中點，點在上.

（1）求證：平面平面；

（2）若點是線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；

（2）以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出向量和面的一個法向量，再求兩向量夾角的余弦值，從而求得答案.

（1）因為、均為等邊三角形，為的中點，

所以，.

又，所以平面，即平面.

又平面，所以平面平面；

（2）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面.

又平面，所以，所以，，兩兩互相垂直.

故以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：

不妨設(shè)，則，.

則點，，，，，.

則，，，

設(shè)平面的法向量為，則，

取，，，則，

，，，

，

則直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線:上的點到焦點的距離最小值為1.

(1)求的值;

(2)若點在曲線:上,且在曲線上存在三點,,,使得四邊形為平行四邊形.求平行四邊形的面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校高二年級的第二學(xué)期，因某學(xué)科的任課教師王老師調(diào)動工作，于是更換了另一名教師趙老師繼任.第二學(xué)期結(jié)束后從全學(xué)年的該門課的學(xué)生考試成績中用隨機(jī)抽樣的方法抽取了容量為50的樣本，用莖葉圖表示如下：

學(xué)校秉持均衡發(fā)展、素質(zhì)教育的辦學(xué)理念，對教師的教學(xué)成績實行績效考核，績效考核方案規(guī)定：每個學(xué)期的學(xué)生成績中與其中位數(shù)相差在范圍內(nèi)（含）的為合格，此時相應(yīng)的給教師賦分為1分；與中位數(shù)之差大于10的為優(yōu)秀，此時相應(yīng)的給教師賦分為2分；與中位數(shù)之差小于-10的為不合格，此時相應(yīng)的給教師賦分為-1分.

（Ⅰ）問王老師和趙老師的教學(xué)績效考核平均成績哪個大？

（Ⅱ）是否有的把握認(rèn)為“學(xué)生成績?nèi)〉脙?yōu)秀與更換老師有關(guān)”.

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購已經(jīng)逐漸融入了人們的生活，在家里不用出門就可以買到自己想要的東西，在網(wǎng)上付款即可，兩三天就會送到自己的家門口，所以選擇網(wǎng)購的人數(shù)在逐年增加.某網(wǎng)店統(tǒng)計了2014年一2018年五年來在該網(wǎng)店的購買人數(shù)（單位：人）各年份的數(shù)據(jù)如下表：

年份（）

1

2

3

4

5

24

27

41

64

79

（1）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合與時間（單位：年）的關(guān)系，請通過計算相關(guān)系數(shù)加以說明，（若，則該線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）

附：相關(guān)系數(shù)公式

參考數(shù)據(jù)

（2）該網(wǎng)店為了更好的設(shè)計2019年的“雙十一”網(wǎng)購活動安排，統(tǒng)計了2018年“雙十一”期間8個不同地區(qū)的網(wǎng)購顧客用于網(wǎng)購的時間x（單位：小時）作為樣本，得到下表

地區(qū)

時間

0.9

1.6

1.4

2.5

2.6

2.4

3.1

1.5

①求該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

②通過大量數(shù)據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該活動期間網(wǎng)購時間近似服從正態(tài)分布，如果預(yù)計2019年“雙十一”期間的網(wǎng)購人數(shù)大約為50000人，估計網(wǎng)購時間的人數(shù).

（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布則，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線有光學(xué)性質(zhì)，即由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之亦然.如圖所示，今有拋物線，一光源在點處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的對稱軸的方向射向拋物線上的點，反射后，又射向拋物線上的點，再反射后又沿平行于拋物線的對稱軸方向射出，途中遇到直線上的點，再反射后又射回點.設(shè)，兩點的坐標(biāo)分別是，.

（1）證明：；

（2）若四邊形是平行四邊形，且點的坐標(biāo)為.求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方

程為y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，

并求出此定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某高校在2019年的冬令營考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下圖所示：

組號

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

5

0.050

第2組

35

0.350

第3組

10

0.100

第4組

20

0.200

第5組

30

0.300

合計

100

1.00

（1）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？

（2）在（1）的前提下，高校決定在這6名學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官進(jìn)行面試，求第4組至少有一名學(xué)生被A考官測試的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知 .

（1）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，判斷函數(shù)零點的個數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓與直線相交于、兩點，為原點，若.

（1）求實數(shù)的值；

（2）求的面積.

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