Question

【題目】已知函數的定義域為D，若存在實常數及，對任意，當且時，都有成立，則稱函數具有性質.

（1）判斷函數是否具有性質，并說明理由；

（2）若函數具有性質，求及應滿足的條件；

（3）已知函數不存在零點，當時具有性質（其中，），記，求證:數列為等比數列的充要條件是或.

Answer 1

【答案】（1）不具備，理由見解析；（2）時，且；時，；（3）證明見解析.

【解析】

（1）先假設函數具有性質，根據題意求出，與矛盾，即可判斷出結果；

（2）根據題意，得到，推出，求解，即可得出結果；

（3）根據題意，先得到，，根據等比數列的定義，以及數學歸納法，分別證明必要性和充分性，即可證明結論成立.

（1）若函數具有性質；則

即，

所以，即，與矛盾，所以函數不具有性質；

（2）若函數具有性質，

則，

即，

即，

所以，因此，即，

解得：或；所以 或；

當時，且，所以且；

當時，，所以；

（3）因為函數在時具有性質（其中，），

所以，

又函數不存在零點，，

所以，；

下面證明必要性：

若數列為等比數列，則，

又，所以，

因此，所以，即或；

接下來證明充分性：

若，因為，所以，因此；

猜想：；

用數學歸納法證明如下：

①當時，顯然成立；

②假設時，成立，成立；

則當時，由得，

所以，即，所以，

即時，也成立，

由①②可得，恒成立；即數列為公比是的等比數列；

同理：時，數列為公比是的等比數列；

綜上，數列為等比數列的充要條件是或.