Question

【題目】已知函數(shù).

（1）函數(shù)，討論的單調(diào)性；

（2）曲線在點(diǎn)處的切線為，是否存在這樣的點(diǎn)使得直線與曲線也相切，若存在，判斷滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，有且只有兩個(gè)

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得出，分，，，討論單調(diào)性，分別解出與的區(qū)間即可得出單調(diào)區(qū)間．

（2）先求直線為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)處的切線方程，再設(shè)直線與的圖象也相切，切點(diǎn)為，進(jìn)而可得，再判斷方程在區(qū)間上有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）因?yàn)椋?/span>，

所以：.

所以：①當(dāng)時(shí)：在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)：在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；

③當(dāng)時(shí)：在上為增函數(shù)；

④當(dāng)時(shí)：在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

（2）設(shè).

因?yàn)椋?/span>，所以：.

所以直線的方程為：，即：①.

假設(shè)直線與的圖象也相切，切點(diǎn)為：.

因?yàn)?/span>，所以.

所以直線的方程也可以寫作為：.

又因?yàn)?/span>，即：.

所以直線的方程為：，即：②.

由①②有：，即：.

令，

所以.

令，得：，

所以在遞減，在遞增.

所以，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

所以，存在這樣的點(diǎn)使得直線與函數(shù)的圖象也相切，這樣的點(diǎn)有且只有兩個(gè).