Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式；

（2）求面積的最大值；

（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）3；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式，可以得到等式，化簡(jiǎn)后得到點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式；

（2）設(shè)是曲線上任一點(diǎn)，求出的表達(dá)式，結(jié)合的取值范圍，可以求出面積的最大值；

（3）恒成立，則恒成立. 設(shè)，當(dāng)它與圓相切時(shí)，取得最大和最小值，利用點(diǎn)到直線距離公式，可以求出取得最大和最小值，最后可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）設(shè)的坐標(biāo)是，由，得，

化簡(jiǎn)得.

（2）由（1）得，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上.

設(shè)是曲線上任一點(diǎn)，則，

又，故的最大值為：.

（3）由（1）得：圓的方程是

若恒成立，則恒成立.

設(shè)，當(dāng)它與圓相切時(shí)，

取得最大和最小值，

由得：，，

故當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立.