Question

【題目】已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.

（1）求的方程；

（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，問(wèn)是否在軸上存在一點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)總有？若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）利用橢圓定義求軌跡方程：先由動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，得，從而，再由橢圓的定義可知，曲線是以為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸為的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為（2）條件就是，利用坐標(biāo)化簡(jiǎn)得：設(shè)，則，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理得，代入化簡(jiǎn)得

試題解析：（1）得圓的圓心為，半徑；圓的圓心，半徑.設(shè)圓的圓心為，半徑為.因?yàn)閳A與圓外切并與圓內(nèi)切，所以

由橢圓的定義可知，曲線是以為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸為的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為

（2）假設(shè)存在滿足.設(shè)

聯(lián)立得，由韋達(dá)定理有

①，其中恒成立，

由（顯然的斜率存在），故，即②，

由兩點(diǎn)在直線上，故代入②得：

即有

③

將①代入③即有：④，要使得④與的取值無(wú)關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)成立，綜上所述存在，使得當(dāng)變化時(shí)，總有