Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．     

（Ⅰ）若在邊BC上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，求a的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)邊BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時，求二面角A－PD－Q的余弦值．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）二面角A－PD－Q的余弦值為

【解析】解法1：（Ⅰ）如圖，連，由于PA⊥平面ABCD，則由PQ⊥QD，必有．

                                                                    

設(shè)，則，

在中，有．

在中，有．    ……4分

在中，有．

即，即．

∴．

故的取值范圍為．……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)，時，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q（Q為BC邊的中點(diǎn)），

使PQ⊥QD．                                                 

過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．

　過M作MN⊥PD于N，連結(jié)NQ，則QN⊥PD．

　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．                      ……10分

在等腰直角三角形中，可求得，又，進(jìn)而．

                                                               

∴．

故二面角A－PD－Q的余弦值為．   ……12分

解法2：（Ⅰ）以為x．y．z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則

B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），

P（0，0，4），                     ……2分

設(shè)Q（t，2，0）（），則 ＝（t，2，－4），

＝（t－a，2，0）．              ……4分

    ∵PQ⊥QD，∴＝0．

即．

∴．

故的取值范圍為．         ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)，時，邊BC上存在唯一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD．

此時Q（2，2，0），D（4，0，0）．                               

設(shè)是平面的法向量，

由，得．

取，則是平面的一個法向量．                 

而是平面的一個法向量，                       ……10分

由．

　　∴二面角A－PD－Q的余弦值為．                        ……12分