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已知函數f(x),當x,y∈R時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y),

（1）求證：f(x)是奇函數.

（2）若f(-3)=a，試用a表示f(24).

（3）如果x＞0時，f(x)＞0且f(1)＜0，試求f(x)在區(qū)間［-2，6］上的最大值與最小值.

解析：（1）令x=y=0，得f(0)=0，再令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x).?

∴f(x)=f(-x).?

∴f(x)為奇函數.?

（2）由f(-3)=a,得f(3)=-f(-3)=-a.?

f(24)=f()=8f(3)=-8f(-3)=-8a.

（3）設x1＜x2,則f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1)＜f(x1)，

∵x2-x1＞0,f(x2-x1)＜0,

∴f(x)在區(qū)間［-2，6］上是減函數.

∴f(x) max=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,

f(x) min=f(6)=6f(1)=-3.

答案：（1）f(x)=f(-x),

∴f(x)為奇函數.

（2）-8a.

（3）f(x) max=1,f(x) min=-3.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1 ( 當x為有理數時)
0(當x為無理數時)
，給出下列關于f（x）的性質：
①f（x）是周期函數，3是它的一個周期；②f（x）是偶函數；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同
正確的個數為（　�。�
A、1個B、2個C、3個D、4個

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=,求當x為何值時,函數有最大值?

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知函數f(x)=
1 ( 當x為有理數時)
0(當x為無理數時)
，給出下列關于f（x）的性質：
①f（x）是周期函數，3是它的一個周期；②f（x）是偶函數；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同
正確的個數為（　�。�
A．1個B．2個C．3個D．4個

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=.

(1)當a＞0時，解關于x的不等式f(x)＜0；

(2)若不等式f(x)≥f(1)對x∈R恒成立，求f(x)的單調遞減區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)，當x，y∈R時，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證：f(x)是奇函數；

(2)如果x>0時，f(x)<0，并且f(1)＝－，試求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最值．

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